В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC=2 и BC=BM. Найдите AH.

На листе представлено много задач по геометрии. Давай решим несколько из них по порядку. **Задача 14** В треугольнике $ABC$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$. Известно, что $AC=2$ и $BC=BM$. Найдите $AH$. 1. Так как $BM$ — медиана, то она делит сторону $AC$ пополам: $AM = MC = AC / 2 = 2 / 2 = 1$. 2. В треугольнике $BMC$ стороны $BC = BM$, значит, он равнобедренный. 3. В равнобедренном треугольнике $BMC$ высота $BH$, проведенная к основанию $MC$, является также медианой. Значит, $MH = HC = MC / 2 = 1 / 2 = 0,5$. 4. Отрезок $AH = AM + MH = 1 + 0,5 = 1,5$. **Ответ: 1,5** **Задача 15** Решается аналогично задаче 14. 1. $AM = MC = AC / 2 = 7,9 / 2 = 3,95$. 2. $MH = HC = MC / 2 = 3,95 / 2 = 1,975$. 3. $AH = AM + MH = 3,95 + 1,975 = 5,925$. **Ответ: 5,925** **Задача 32** В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. $\angle ALC = 58^{\circ}$, $\angle ABC = 54^{\circ}$. Найдите $\angle ACB$. 1. Рассмотрим $\triangle ABL$. Угол $\angle ALC$ является внешним для этого треугольника, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ALC = ∠BAL + ∠ABC$. 2. $58^{\circ} = \angle BAL + 54^{\circ}$, откуда $\angle BAL = 58^{\circ} - 54^{\circ} = 4^{\circ}$. 3. Так как $AL$ — биссектриса, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAL = 2 \cdot 4^{\circ} = 8^{\circ}$. 4. Сумма углов в $\triangle ABC$ равна $180^{\circ}$: $\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^{\circ} - (8^{\circ} + 54^{\circ}) = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ}$. **Ответ: 118** **Задача 42** В треугольнике $ABC$ угол $C = 90^{\circ}$, $M$ — середина $AB$, $AB=26$, $BC=18$. Найдите $CM$. 1. В прямоугольном треугольнике медиана, проверенная к гипотенузе, равна её половине. 2. $CM = AB / 2 = 26 / 2 = 13$. **Ответ: 13** **Задача 53** Биссектриса равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону. 1. В равностороннем треугольнике биссектриса также является высотой $h$. Формула высоты через сторону $a$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 2. $12\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 12 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 24$. **Ответ: 24**