1. Два катета прямоугольного треугольника равны 35 и 66. Найдите площадь этого треугольника.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 66 = 35 \cdot 33 = 1155$. **Ответ: 1155**. 2. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны: $r = \frac{a}{2} = \frac{152}{2} = 76$. **Ответ: 76**. 3. В равнобедренной трапеции высота $h$, опущенная из вершины верхнего основания, отсекает на нижнем основании отрезок $x = \frac{67 - 17}{2} = \frac{50}{2} = 25$. Так как угол при основании равен $45^\circ$, треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком $x$, является равнобедренным прямоугольным, значит $h = x = 25$. Площадь трапеции: $S = \frac{17 + 67}{2} \cdot 25 = \frac{84}{2} \cdot 25 = 42 \cdot 25 = 1050$. **Ответ: 1050**. 4. Построим прямоугольный треугольник, где искомое расстояние — гипотенуза. Считаем клетки: катеты равны 8 и 6. По теореме Пифагора: $d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$. **Ответ: 10**. 5. Разберем утверждения: 1) Верно. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, следовательно, он больше каждого из них по отдельности. 2) Неверно. Диагонали равны только у прямоугольника (и квадрата), у произвольного параллелограмма они разные. 3) Неверно. Если диагонали параллелограмма равны, он является прямоугольником. 4) Неверно. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. **Ответ: 1**.