Вычислите значения выражений 6.3 - 6.9, используя формулы сложения.

Для решения этих примеров используем формулы сложения тригонометрических функций: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ 6.3. $\sin\frac{2\pi}{15}\cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{2\pi}{15}\sin\frac{\pi}{5} = \sin\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{2\pi + 3\pi}{15}\right) = \sin\frac{5\pi}{15} = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 6.4. $\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{42} - \sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{\pi}{42} = \cos\left(\frac{\pi}{7} + \frac{\pi}{42}\right) = \cos\left(\frac{6\pi + \pi}{42}\right) = \cos\frac{7\pi}{42} = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 6.5. $\left(\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{21} + \cos\frac{\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{21}\right)^2 = \left(\sin\left(\frac{\pi}{7} + \frac{4\pi}{21}\right)\right)^2 = \left(\sin\left(\frac{3\pi + 4\pi}{21}\right)\right)^2 = \left(\sin\frac{7\pi}{21}\right)^2 = \left(\sin\frac{\pi}{3}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0,75$ 6.6. $(\cos 54^\circ \cos 9^\circ + \sin 54^\circ \sin 9^\circ) \cdot \sqrt{2} = \cos(54^\circ - 9^\circ) \cdot \sqrt{2} = \cos 45^\circ \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{2}{2} = 1$ 6.7. $2 \cdot (\sin 12^\circ \cos 18^\circ + \cos 12^\circ \sin 18^\circ) = 2 \cdot \sin(12^\circ + 18^\circ) = 2 \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ 6.8. $\frac{\cos 65^\circ \cos 40^\circ + \sin 65^\circ \sin 40^\circ}{\sin 17^\circ \cos 8^\circ + \cos 17^\circ \sin 8^\circ} = \frac{\cos(65^\circ - 40^\circ)}{\sin(17^\circ + 8^\circ)} = \frac{\cos 25^\circ}{\sin 25^\circ} = \text{ctg } 25^\circ$ 6.9. $\sin x \sin 2x - \sin 3x - \cos x \cos 2x = -(\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x) - \sin 3x = -\cos(x + 2x) - \sin 3x = -\cos 3x - \sin 3x$