Решите уравнение sin x + cos x = 1

Для решения тригонометрического уравнения $\sin x + \cos x = 1$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4}$. Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$: $\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Решим полученное простейшее уравнение: $x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ Рассмотрим два случая для $k$: 1. Если $k = 2n$ (четное): $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x_1 = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2. Если $k = 2n + 1$ (нечетное): $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n + 1) \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \pi \Rightarrow x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = 2\pi n; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.**