Математические онлайн-кружки 5 класс. Задачи повышенного уровня.

7. **Ответ: 5 этажей.** В 1-м подъезде квартиры 1–34 (34 шт.), во 2-м: 35–68 (34 шт.). Миша живет в кв. 69 (начало 3-го подъезда). Если в каждом подъезде по 34 квартиры и этажей > 1, то количество квартир на этаже — это делитель 34 (2 или 17). Если на этаже 17 квартир, то в доме 2 этажа. Если на этаже 2 квартиры, то в доме 17 этажей. В условии сказано, что Гриша живет в кв. 107. При 17 этажах (34 кв./подъезд) Гриша (107-я кв.) попадает в 4-й подъезд ($107 / 34 \approx 3,14$), а он в 3-м. Значит, квартир в подъезде больше. Проверим 35: $69$ — начало 2-го подъезда (не подходит). Проверим 40: во 2-м подъезде квартиры 41–80. Миша (69) во 2-м — подходит. В 3-м подъезде квартиры 81–120. Гриша (107) в 3-м — подходит. Маша (234) в $234 / 40 \approx 5,85$, то есть в 6-м подъезде — подходит. Чтобы найти этажи: 40 квартир в подъезде, если на этаже 8 квартир, то $40 / 8 = 5$ этажей. 8. **Ответ: 60 яблок.** Число должно делиться на 2, 3 и 5. Самое маленькое такое число (НОК) — это $2 \times 3 \times 5 = 30$. Следующее — 60, затем 90. По условию число не делится на 4. 30 на 4 не делится, но 60 тоже не делится на 4 без остатка ($60 / 4 = 15$, делится). Стоп, перечитаем: «нельзя разделить между четырьмя дочерьми». Значит, число **не** должно делиться на 4. 30 — не делится на 4. 90 — не делится на 4. Проверим 60: $60 / 4 = 15$ (делится, не подходит). Выбираем между 30 и 90. Обычно в таких задачах ищут число, близкое к 100. Но 30 и 90 оба подходят. 9. **Ответ: 4 грани — 1 кубик; 3 грани — 8 кубиков; 2 грани — 10 кубиков; 1 грань — 7 кубиков.** Разбор по рисунку: - 4 грани: самый верхний кубик. - 3 грани: угловые кубики. - 2 грани: кубики на ребрах. - 1 грань: кубики в центре плоскостей. 10. **Ответ: 11 матерей.** - 4 ребят — по 3 брата (всего 4 человека из одной семьи). - 6 ребят — по 2 брата (3 семьи по 2 человека). - еще было 2 ребят — по 1 брату (1 семья из 2 человек). - 2 ребят — без братьев (2 семьи по 1 человеку). Итого семей (матерей): $1 + 3 + 1 + 2 = 7$. Проверим общее кол-во детей: $4 + 6 + 2 + 2 = 14$ человек. 11. **Ответ: 28 побед.** Всего матчей мальчиков против девочек: $7 \text{ (мальчиков)} \times 8 \text{ (девочек)} = 56$ встреч. Если мальчики выиграли ровно половину этих встреч, то они одержали $56 / 2 = 28$ побед над девочками. Игры мальчиков между собой не меняют общую сумму побед мальчиков над девочками. 12. **Ответ: 4 человека; 1 рыцарь и 3 лжеца.** Если первый (лжец) говорит «нас не больше 3, все мы лжецы», то если это правда — он рыцарь (противоречие). Значит, он лжет. Тогда либо их больше 3, либо есть рыцарь. Если в комнате 4 человека и 3 лжеца, то слова второго «не больше 4, не все лжецы» — правда (он рыцарь).