1. Найдите объем правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17. 2. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 16, боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. **Ответ: 16** **Решение:** 1) Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат. Площадь основания: $S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$. 2) Найдём половину диагонали квадрата основания. Диагональ $d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. Её половина $R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$. 3) Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, боковым ребром $L$ и радиусом $R$, найдём высоту $H$ по теореме Пифагора: $H^2 = L^2 - R^2 = (\sqrt{17})^2 - (2\sqrt{2})^2 = 17 - 8 = 9$. $H = \sqrt{9} = 3$. 4) Объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16$. 2. **Ответ: 720** **Решение:** 1) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (высоту боковой грани). 2) Найдём апофему $h$. Рассмотрим боковую грань — это равнобедренный треугольник со сторонами $17, 17$ и основанием $16$. Апофема делит основание пополам ($16 / 2 = 8$). По теореме Пифагора: $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. 3) Периметр шестиугольного основания: $P = 6 \cdot 16 = 96$. 4) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 15 = 48 \cdot 15 = 720$.