Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы

б) Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 3. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в 2 раза, а форма останется прежней? **Ответ: 12** Решение: При увеличении всех линейных размеров (рёбер) тела в $k$ раз, площадь его поверхности увеличивается в $k^2$ раз. 1. Коэффициент подобия $k = 2$. 2. Площадь увеличится в $k^2 = 2^2 = 4$ раза. 3. Новая площадь: $3 \cdot 4 = 12$. **А14. а) Площадь полной поверхности призмы на $24 \text{ см}^2$ больше площади её боковой поверхности. Найдите площадь основания призмы.** **Ответ: 12** Решение: 1. Площадь полной поверхности призмы $S_{\text{полн}}$ вычисляется по формуле: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}}$. 2. По условию $S_{\text{полн}} - S_{\text{бок}} = 24$. Следовательно, $2 \cdot S_{\text{осн}} = 24$. 3. $S_{\text{осн}} = 24 : 2 = 12 \text{ (см}^2)$. **б) Площадь боковой поверхности призмы на $36 \text{ см}^2$ меньше площади её полной поверхности. Найдите площадь основания призмы.** **Ответ: 18** Решение: 1. Разница между полной и боковой площадью — это две площади основания: $S_{\text{полн}} - S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_{\text{осн}}$. 2. По условию эта разница равна $36$. Значит, $2 \cdot S_{\text{осн}} = 36$. 3. $S_{\text{осн}} = 36 : 2 = 18 \text{ (см}^2)$. **А15. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, если:** **а) сторона её основания равна 8, а высота — 5;** **Ответ: 120** Решение: 1. У правильной треугольной призмы в основании лежит равносторонний треугольник. Периметр основания $P = 3 \cdot a = 3 \cdot 8 = 24$. 2. Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 24 \cdot 5 = 120$. **б) сторона её основания равна 3, а высота — 2.** **Ответ: 18** Решение: 1. Периметр основания $P = 3 \cdot a = 3 \cdot 3 = 9$. 2. Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 9 \cdot 2 = 18$. **А16. а) Найдите площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12, если высота призмы равна 10.** **Ответ: 360** Решение: 1. Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора: $c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$. 2. Периметр основания $P = 9 + 12 + 15 = 36$. 3. Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 36 \cdot 10 = 360$. **б) Найдите площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетом 5 и гипотенузой 13, если высота призмы равна 2.** **Ответ: 60** Решение: 1. Найдем второй катет основания: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$. 2. Периметр основания $P = 5 + 13 + 12 = 30$. 3. Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 30 \cdot 2 = 60$. **А17. а) Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы равна 2. Найдите площадь её поверхности.** **Ответ: 36** Решение: 1. Гипотенуза основания: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. 2. Площадь основания (прямоугольный треугольник): $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. 3. Периметр основания: $P = 3 + 4 + 5 = 12$. 4. Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 12 \cdot 2 = 24$. 5. Площадь полной поверхности: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} = 24 + 2 \cdot 6 = 24 + 12 = 36$. **б) Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 10. Найдите площадь её поверхности.** **Ответ: 360** Решение: 1. Гипотенуза основания: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$. 2. Площадь основания: $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$. 3. Периметр основания: $P = 5 + 12 + 13 = 30$. 4. Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = P \cdot h = 30 \cdot 10 = 300$. 5. Площадь полной поверхности: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}} = 300 + 2 \cdot 30 = 360$.