В треугольнике ABC известно, что ∠A = 30°, ∠B = 45°, CK — высота, AC = 10 см. Найдите отрезок BK.

**Ответ: 5√2 см (или ≈ 7,07 см)** **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$ (так как $CK$ — высота, то $\angle AKC = 90^\circ$): - По определению синуса: $CK = AC \cdot \sin A$ - $CK = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCK$ (так как $CK$ — высота, то $\angle BKC = 90^\circ$): - Нам известен угол $\angle B = 45^\circ$. - По определению тангенса или котангенса в прямоугольном треугольнике: $\text{tg } B = \frac{CK}{BK}$. - Так как $\angle B = 45^\circ$, то $\text{tg } 45^\circ = 1$, следовательно, $CK = BK$. - Значит, $BK = 5$ см. **Допущение:** В условии задачи $\angle B = 45^\circ$ относится к углу треугольника $ABC$. Если высота $CK$ лежит внутри треугольника, то $BK = 5$ см. Однако, если использовать стандартные тригонометрические соотношения для нахождения сторон: В $\triangle BCK$: $\sin B = \frac{CK}{BC} \Rightarrow BC = \frac{CK}{\sin 45^\circ} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ см. $BK = BC \cdot \cos B = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ см. **Уточнение:** Если в вопросе требовалось найти сторону $BC$, ответ был бы $5\sqrt{2}$. Для отрезка $BK$ ответ $5$.