1. Решить уравнения: a) sin(2x - pi/4) = sqrt(2)/2

Привет! Давай разберем твою контрольную по математике шаг за шагом. ### 1. Решить уравнения: **а) $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$** Используем формулу для синуса $\sin(t) = a$: $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $2x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$ $2x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$ $x = \frac{\pi}{8} + (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. **б) $4^x = 2^{(6 + x - x^2)}$** Приводим к общему основанию $2$: $(2^2)^x = 2^{(6 + x - x^2)}$ $2^{2x} = 2^{(6 + x - x^2)}$ $2x = 6 + x - x^2$ $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета $x_1 = -3, x_2 = 2$. **в) $6 \sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0$** Пусть $t = \sin(x), |t| \le 1$. $6t^2 - t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25$. $t = \frac{1 \pm 5}{12} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = -\frac{1}{3}$. 1) $\sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin(x) = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. --- ### 2. Решить неравенства: **а) $27^{(1 + 2x)} > (\frac{1}{9})^{(2 + x)}$** $(3^3)^{(1+2x)} > (3^{-2})^{(2+x)}$ $3^{(3+6x)} > 3^{(-4-2x)}$ $3 + 6x > -4 - 2x$ $8x > -7 \Rightarrow x > -\frac{7}{8}$. **б) $\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \ge -3$** Так как основание $\frac{1}{3} < 1$, знак меняется: $x - 1 \le (\frac{1}{3})^{-3}$ $x - 1 \le 27$ $x \le 28$. Учитывая ОДЗ: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Ответ: $x \in (1; 28]$. --- ### 3. Исследовать функцию $f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 12$: $f'(x) = 8x^3 - 24x^2 = 8x^2(x - 3)$. Критические точки: $x = 0$ (не меняет знак), $x = 3$ (минимум). $f'(x) < 0$ при $x < 3$ ($x \neq 0$), значит функция убывает на $(-\infty; 3]$. $f'(x) > 0$ при $x > 3$, значит функция возрастает на $[3; +\infty)$. $f(3) = 2(81) - 8(27) + 12 = 162 - 216 + 12 = -42$. Это локальный минимум. --- ### 4. Наибольшее/наименьшее $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ на $[4; 5]$: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$. Критические точки $x = 2$ и $x = -1$ вне отрезка $[4; 5]$. Функция монотонна. $f(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33$. $f(5) = 2(125) - 3(25) - 12(5) + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116$. Наименьшее: 33, Наибольшее: 116. --- ### 5. Первообразная для $f(x) = 3 - 2x^2$ через $A(1; 3)$: $F(x) = \int (3 - 2x^2) dx = 3x - \frac{2x^3}{3} + C$. Подставим $A(1; 3)$: $3 = 3(1) - \frac{2(1)^3}{3} + C \Rightarrow 3 = 3 - \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{2}{3}$. $F(x) = 3x - \frac{2x^3}{3} + \frac{2}{3}$. --- ### 6. Задача про параллелепипед: $a = 3, b = 4$. Диагональ основания $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Пусть $h$ — высота. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен $45^\circ$: $\tan(45^\circ) = \frac{h}{d} \Rightarrow 1 = \frac{h}{5} \Rightarrow h = 5$. Площадь полной поверхности: $S = 2(ab + ah + bh) = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2(12 + 15 + 20) = 2(47) = 94$ см$^2$. --- ### 7. Задача про библиотеку: Всего книг: (9+1) + (6+4) = 10 + 10 = 20. **а) Обе новые:** $P = \frac{9}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{54}{100} = 0,54$. **б) Хотя бы один старый учебник:** Это противоположное событию "обе новые". $P = 1 - 0,54 = 0,46$.