1. Решить уравнения: а) sin(2x - π/4) = √2/2

Привет! Давай разберем твой вариант. ### 1. Решить уравнения: а) $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ $2x = \pi + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) $4^x = 2^{6+x-x^2} \Rightarrow (2^2)^x = 2^{6+x-x^2}$ $2x = 6+x-x^2 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = -3, x_2 = 2$. Ответ: $-3; 2$. в) $6\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0$ Пусть $t = \sin(x), |t| \le 1$. $6t^2 - t - 1 = 0$. Дискриминант $D = 1 - 4(6)(-1) = 25$. $t_1 = \frac{1+5}{12} = \frac{1}{2}, t_2 = \frac{1-5}{12} = -\frac{1}{3}$. 1) $\sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin(x) = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### 2. Решить неравенства: а) $27^{1+2x} > (\frac{1}{9})^{2+x} \Rightarrow (3^3)^{1+2x} > (3^{-2})^{2+x}$ $3+6x > -4-2x \Rightarrow 8x > -7 \Rightarrow x > -\frac{7}{8}$. Ответ: $(-\frac{7}{8}; +\infty)$. б) $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) \ge -3$ Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак меняется: $x-1 \le (\frac{1}{3})^{-3} \Rightarrow x-1 \le 27 \Rightarrow x \le 28$. Условие ОДЗ: $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Ответ: $(1; 28]$. ### 3. Исследование функции $f(x) = 2x^4 - 8x^3 + 12$: Производная $f'(x) = 8x^3 - 24x^2 = 8x^2(x-3)$. $f'(x) = 0$ при $x=0$ и $x=3$. На интервалах: $(-\infty; 0) \Rightarrow f'(x) < 0$ (функция убывает). $(0; 3) \Rightarrow f'(x) < 0$ (функция убывает). $(3; +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0$ (функция возрастает). Экстремумы: точка минимума $x=3$, $f(3) = 2(81) - 8(27) + 12 = 162 - 216 + 12 = -42$. $x=0$ — точка перегиба, не экстремум. ### 4. Наибольшее/наименьшее $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$ на $[4; 5]$: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x-2)(x+1)$. Корни $2, -1$ не лежат на отрезке $[4; 5]$. Функция монотонно возрастает. $f(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33$. $f(5) = 2(125) - 3(25) - 12(5) + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116$. Ответ: $min = 33, max = 116$. ### 5. Первообразная для $f(x) = 3 - 2x^2$: $F(x) = \int(3 - 2x^2) dx = 3x - \frac{2x^3}{3} + C$. Проходит через $A(1; 3)$: $3 = 3(1) - \frac{2(1)^3}{3} + C \Rightarrow 3 = 3 - \frac{2}{3} + C \Rightarrow C = \frac{2}{3}$. Ответ: $F(x) = 3x - \frac{2x^3}{3} + \frac{2}{3}$. ### 6. Задача: Основание $3\times4$, диагональ основания $d = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ см. Диагональ параллелепипеда $D$ образует $45^\circ$ с основанием, значит, высота $h = d \cdot \tan(45^\circ) = 5 \cdot 1 = 5$ см. $S_{полн} = 2(ab + ah + bh) = 2(3\cdot4 + 3\cdot5 + 4\cdot5) = 2(12 + 15 + 20) = 2(47) = 94$ см$^2$. Ответ: 94 см$^2$. ### 7. Задача (вероятность): Секция 1: 9 новых, 1 старая (всего 10). Секция 2: 6 новых, 4 старые (всего 10). а) Обе новые: $P = \frac{9}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{54}{100} = 0,54$. б) Хотя бы один старый: $1 - P(\text{обе новые}) = 1 - 0,54 = 0,46$. Ответ: а) 0,54; б) 0,46.