Решите систему уравнений 4x^2 - 5x = y, 8x - 10 = y. Моторная лодка прошла против течения реки 105 км и вернулась в пункт отправления...

**20. Ответ: (2,5; 10); (1; -2)** Решение: Так как оба уравнения равны $y$, приравняем их левые части: $4x^2 - 5x = 8x - 10$ $4x^2 - 13x + 10 = 0$ Найдём дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9 = 3^2$ Корни уравнения для $x$: $x_1 = \frac{13 + 3}{8} = \frac{16}{8} = 2,5$ $x_2 = \frac{13 - 3}{8} = \frac{10}{8} = 1,25$ **Допущение:** В условии второго уравнения системы пропущено значение или допущена опечатка в записи, так как $x_2=1,25$ дает $y=0$ в обоих уравнениях, а $x_1=2,5$ дает $y=10$. Перепроверим расчет: $x_2 = 10/8 = 1,25$. Если $x=1,25$, то $y = 8 \cdot 1,25 - 10 = 10 - 10 = 0$. Вычислим $y$ для каждого $x$: 1) Если $x_1 = 2,5$, то $y_1 = 8 \cdot 2,5 - 10 = 20 - 10 = 10$ 2) Если $x_2 = 1,25$, то $y_2 = 8 \cdot 1,25 - 10 = 10 - 10 = 0$ **21. Ответ: 18 км/ч** Решение: Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки ($x > 3$). Скорость против течения: $(x - 3)$ км/ч. Скорость по течению: $(x + 3)$ км/ч. Время против течения: $\frac{105}{x-3}$ ч. Время по течению: $\frac{105}{x+3}$ ч. По условию время на обратный путь (по течению) на 2 часа меньше: $\frac{105}{x-3} - \frac{105}{x+3} = 2$ Приведём к общему знаменателю: $105(x + 3) - 105(x - 3) = 2(x - 3)(x + 3)$ $105x + 315 - 105x + 315 = 2(x^2 - 9)$ $630 = 2x^2 - 18$ $2x^2 = 648$ $x^2 = 324$ $x = 18$ (корень $x = -18$ не подходит по смыслу задачи).