На медиане BM треугольника ABC взяли точку K так, что AK = BC. Докажите, что ∠AKM = ∠MBC.

**Доказательство:** 1. Продлим медиану $BM$ за точку $M$ на отрезок $MD = BM$. Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Так как $AM = MC$ (по условию $BM$ — медиана) и $BM = MD$ (по построению), то диагонали $AC$ и $BD$ точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. 2. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $AD = BC$. По условию задачи $AK = BC$, следовательно, $AD = AK$. 3. Рассмотрим треугольник $AKD$. Так как $AD = AK$, то $\triangle AKD$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle AKD = \angle ADK$. 4. В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ параллельна $BC$. При параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$ накрест лежащие углы равны: $\angle ADK = \angle MBC$. 5. Из равенств $\angle AKM = \angle AKD$ (один и тот же угол), $\angle AKD = \angle ADK$ и $\angle ADK = \angle MBC$ следует, что $\angle AKM = \angle MBC$. Что и требовалось доказать.