340 Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре. 341 Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

340. **Доказательство:** 1. Пусть даны две параллельные хорды $AB$ и $CD$ в окружности с центром $O$. Обозначим их середины как $M$ и $N$ соответственно. 2. По свойству хорды: радиус (или диаметр), проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде. Значит, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$. 3. Так как хорды параллельны ($AB \parallel CD$), то прямая, перпендикулярная одной из них, будет перпендикулярна и другой. 4. Из точки $O$ можно провести только один перпендикуляр к данным параллельным прямым. Следовательно, точки $O, M$ и $N$ лежат на одной прямой. 5. Прямая, проходящая через центр окружности, содержит диаметр. Таким образом, середины параллельных хорд лежат на одном диаметре. 341. **Доказательство:** 1. Пусть $AB$ и $CD$ — равные хорды окружности с центром $O$ ($AB = CD$). Проведем перпендикуляры из центра $O$ к хордам: $OK \perp AB$ и $OL \perp CD$. Отрезки $OK$ и $OL$ — это расстояния от центра до хорд. 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OKA$ и $\triangle OLC$: - $OA = OC$ (как радиусы окружности); - $AK = \frac{1}{2} AB$ и $CL = \frac{1}{2} CD$ (так как перпендикуляр из центра делит хорду пополам). Поскольку $AB = CD$, то $AK = CL$. 3. Треугольники $\triangle OKA$ и $\triangle OLC$ равны по гипотенузе и катету. 4. Из равенства треугольников следует, что $OK = OL$. Значит, равные хорды равноудалены от центра.