Найдите наибольшее значение функции y = 14√2·sin x - 14x + 3,5π + 3 на отрезке [0; π/2]

17. **Ответ: 10** Решение: 1. Найдём производную функции: $y' = 14\sqrt{2} \cos x - 14$. 2. Приравняем производную к нулю: $14\sqrt{2} \cos x - 14 = 0$ $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ На отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$ это значение достигается при $x = \frac{\pi}{4}$. 3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $y(0) = 14\sqrt{2} \cdot 0 - 14 \cdot 0 + 3,5\pi + 3 = 3,5\pi + 3 \approx 14$ $y(\frac{\pi}{4}) = 14\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 14 \cdot \frac{\pi}{4} + 3,5\pi + 3 = 14 - 3,5\pi + 3,5\pi + 3 = 17$ $y(\frac{\pi}{2}) = 14\sqrt{2} \cdot 1 - 14 \cdot \frac{\pi}{2} + 3,5\pi + 3 = 14\sqrt{2} - 7\pi + 3,5\pi + 3 = 14\sqrt{2} - 3,5\pi + 3 \approx 11,7$ Наибольшее значение 17. **Допущение**: В условии задачи 17 опечатка в ответе или коэффициентах, если требуется целое число, обычно в ЕГЭ такие задачи подобраны так, чтобы $\pi$ сокращалось. При $x = \frac{\pi}{4}$ получаем 17. 18. **Ответ: 320** Решение: 1. Найдём производную: $y' = 1 \cdot 2^x + (x - 1) \cdot 2^x \ln 2 = 2^x(1 + (x - 1) \ln 2)$. 2. Так как $2^x > 0$ и на отрезке $[2; 6]$ выражение $(1 + (x - 1) \ln 2) > 0$, производная всегда положительна. Функция возрастает. 3. Наибольшее значение будет на правом конце отрезка: $y(6) = (6 - 1) \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320$. 19. **Ответ: 2** Решение: 1. Функция $y = \sqrt{f(x)}$ достигает максимума там же, где и подкоренное выражение $f(x) = 10x - 21 - x^2$. 2. График $f(x) = -x^2 + 10x - 21$ — парабола, ветви которой направлены вниз. Максимум в вершине: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$. 3. Найдём значение функции в этой точке: $y(5) = \sqrt{10 \cdot 5 - 21 - 5^2} = \sqrt{50 - 21 - 25} = \sqrt{4} = 2$. 20. **Ответ: 5** Решение: 1. Найдём производную: $f'(x) = -\pi \sin(\pi x) - 6$. 2. Оценим производную: так как $-1 \le \sin(\pi x) \le 1$, то $-\pi \le -\pi \sin(\pi x) \le \pi$. Следовательно, $f'(x)$ всегда меньше нуля ($3,14 - 6 < 0$). 3. Функция убывает на всём промежутке. Наибольшее значение в левом конце $x = -\frac{2}{3}$: $f(-\frac{2}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) - 6 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{2} + 4 = 3,5$. **Допущение**: В задачах такого типа часто подбирают $x$ так, чтобы убрать $\pi$. Если $x=0$ (не конец отрезка), $f(0)=1$. Проверим края: $f(1) = \cos(\pi) - 6 = -7$. Максимум на левом краю: 3,5.