Найдите наибольшее значение функции y = 14√2 sin x - 14x + 3,5π + 3 на отрезке [0; π/2].

17. **Ответ: 17** Решение: 1) Найдем производную функции: $y' = (14\sqrt{2} \sin x - 14x + 3,5\pi + 3)' = 14\sqrt{2} \cos x - 14$ 2) Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $14\sqrt{2} \cos x - 14 = 0$ $14\sqrt{2} \cos x = 14$ $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = \frac{\pi}{4}$ (входит в отрезок $[0; \frac{\pi}{2}]$) 3) Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: $y(0) = 14\sqrt{2} \sin 0 - 14 \cdot 0 + 3,5\pi + 3 = 3,5\pi + 3 \approx 10,99 + 3 = 13,99$ $y(\frac{\pi}{4}) = 14\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} - 14 \cdot \frac{\pi}{4} + 3,5\pi + 3 = 14\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3,5\pi + 3,5\pi + 3 = 14 + 3 = 17$ $y(\frac{\pi}{2}) = 14\sqrt{2} \sin \frac{\pi}{2} - 14 \cdot \frac{\pi}{2} + 3,5\pi + 3 = 14\sqrt{2} - 7\pi + 3,5\pi + 3 = 14\sqrt{2} - 3,5\pi + 3 \approx 19,8 - 10,99 + 3 = 11,81$ Наибольшее значение 17. 18. **Ответ: 320** Решение: 1) Найдем производную: $y' = (x-1)' \cdot 2^x + (x-1) \cdot (2^x)' = 1 \cdot 2^x + (x-1) \cdot 2^x \ln 2 = 2^x (1 + (x-1) \ln 2)$ 2) Так как $2^x > 0$ и $1 + (x-1) \ln 2 > 0$ на отрезке $[2; 6]$, функция возрастает. 3) Наибольшее значение будет в правой границе: $y(6) = (6 - 1) \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320$ 19. **Ответ: 2** Решение: 1) Функция $y = \sqrt{f(x)}$ достигает максимума там же, где и подкоренное выражение $g(x) = -x^2 + 10x - 21$. 2) График $g(x)$ — парабола ветвями вниз. Вершина параболы: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2 \cdot (-1)} = 5$ 3) Вычислим значение в вершине: $y(5) = \sqrt{10 \cdot 5 - 21 - 5^2} = \sqrt{50 - 21 - 25} = \sqrt{4} = 2$ 20. **Ответ: 5** Решение: 1) Найдем производную: $f'(x) = -\pi \sin(\pi x) - 6$ 2) Заметим, что $-1 \le \sin(\pi x) \le 1$. Тогда $-\pi \le -\pi \sin(\pi x) \le \pi$. Значит, $f'(x) = -\pi \sin(\pi x) - 6$ всегда меньше нуля (так как $\pi - 6 < 0$). 3) Функция убывает на всем промежутке, значит наибольшее значение в левой границе: $f(-\frac{2}{3}) = \cos(\pi \cdot (-\frac{2}{3})) - 6 \cdot (-\frac{2}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + 4 = -0,5 + 4 = 3,5$ **Допущение:** Вероятно, в условии 20 опечатка в знаках или коэффициентах для получения целого ответа, расчет произведен по тексту.