698. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько:

698. Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, нужно схематично построить графики функций в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. а) $\begin{cases} y = x^3 \\ xy = -12 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} y = x^3 \\ y = -\frac{12}{x} \end{cases}$ **Ответ: 1 решение.** График $y = x^3$ — кубическая парабола (проходит через I и III четверти). График $y = -\frac{12}{x}$ — гипербола (ветви во II и IV четвертях). Точка пересечения будет только одна во II четверти, так как в IV четверти кубическая парабола уходит вниз быстрее, чем гипербола приближается к оси. :::div .chart-container @chart-1::: б) $\begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases}$ **Ответ: 2 решения.** Первая парабола $y = x^2 + 8$ направлена ветвями вверх, вершина в точке $(0; 8)$. Вторая парабола $y = -x^2 + 12$ направлена ветвями вниз, вершина в точке $(0; 12)$. Так как вершина второй параболы выше вершины первой и они направлены навстречу друг другу, они пересекутся в двух точках. :::div .chart-container @chart-2::: в) $\begin{cases} y = x^2 + 1 \\ xy = 3 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} y = x^2 + 1 \\ y = \frac{3}{x} \end{cases}$ **Ответ: 1 решение.** Парабола $y = x^2 + 1$ имеет вершину в $(0; 1)$ и ветви вверх. Гипербола $y = \frac{3}{x}$ находится в I и III четвертях. В III четверти пересечений нет (парабола всегда выше оси $x$). В I четверти графики пересекаются один раз. :::div .chart-container @chart-3:::