698. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько:

**Ответ: а) 1 решение; б) 2 решения; в) 0 решений.** Решение: а) $\begin{cases} y = x^3 \\ xy = -12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^3 \\ y = -\frac{12}{x} \end{cases}$ График первой функции — кубическая парабола, расположенная в I и III четвертях. График второй функции — гипербола, расположенная во II и IV четвертях. Графики пересекаются в одной точке во II четверти (так как $x^3$ при отрицательных $x$ отрицателен, а $-12/x$ при отрицательных $x$ положителен — здесь пересечений нет; однако при отрицательных $x$ кубическая парабола уходит вниз, а гипербола вверх — нужно проверить знаки внимательнее: $x^3 = -12/x \Rightarrow x^4 = -12$, решений нет? Нет, постойте. Если $x < 0$, то $x^3 < 0$, а $-12/x > 0$. Если $x > 0$, то $x^3 > 0$, а $-12/x < 0$. Значит, графики не пересекаются вовсе. Перепроверим: $x^4 = -12$ не имеет действительных корней. **Допущение:** Вероятно, в пункте (а) имелось в виду $xy=12$ или $y=-x^3$, но согласно записи пересечений нет. Поправим рассуждение для $y=x^3$ и $y=-12/x$: одна функция всегда имеет знак, противоположный другой (кроме нуля, где гипербола не определена). Следовательно, решений нет. б) $\begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases}$ Первый график — парабола с вершиной в $(0; 8)$, ветви вверх. Второй — парабола с вершиной в $(0; 12)$, ветви вниз. :::div .chart-container @chart-1::: Так как $8 < 12$ и ветви направлены навстречу друг другу, графики пересекутся в двух точках. в) $\begin{cases} y = x^2 + 1 \\ xy = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ y = \frac{3}{x} \end{cases}$ Первый график — парабола с вершиной $(0; 1)$, ветви вверх. Второй — гипербола в I и III четвертях. В III четверти парабола всегда положительна, а гипербола отрицательна (пересечений нет). В I четверти при малых $x$ гипербола выше параболы, а при больших — ниже. Проверим: $x^2 + 1 = 3/x \Rightarrow x^3 + x - 3 = 0$. Функция $f(x) = x^3 + x - 3$ непрерывна, $f(1) = -1$, $f(2) = 7$. Значит, есть один корень на интервале $(1; 2)$. **Ответ (уточненный): а) 0; б) 2; в) 1.**