В треугольнике ABC AC = BC = 27, AH — высота, sin BAC = 2/3. Найдите BH.

**Ответ: 30** ### Объяснение решения В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC = 27$) углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. Высота $AH$, проведённая к боковой стороне $BC$, образует прямоугольный треугольник $ABH$. Отрезок $BH$ — это катет, прилежащий к углу $B$. По определению косинуса в $\triangle ABH$: $BH = AB \cdot \cos(\angle B)$. Так как $\angle B = \angle BAC$, то $\cos(\angle B) = \cos(\angle BAC)$. 1. Основание $AB$ можно найти через боковую сторону и косинус угла при основании: $AB = 2 \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$. 2. Подставляем это в формулу для $BH$: $BH = (2 \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)) \cdot \cos(\angle BAC) = 2 \cdot AC \cdot \cos^2(\angle BAC)$. 3. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $BH = 2 \cdot 27 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^2) = 54 \cdot (1 - \frac{4}{9}) = 54 \cdot \frac{5}{9} = 6 \cdot 5 = 30$. --- ### Другой способ решения (через площади) 1. Найдем косинус угла $A$ через синус: $\cos \angle BAC = \sqrt{1 - \sin^2 \angle BAC} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. 2. Найдем основание $AB$ через теорему косинусов для $\triangle ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$. *Или проще через проекцию:* $AB = 2 \cdot AC \cdot \cos \angle BAC = 2 \cdot 27 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 18\sqrt{5}$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$: В нем $\cos \angle B = \cos \angle A = \frac{\sqrt{5}}{3}$. $BH = AB \cdot \cos \angle B = 18\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$. $BH = \frac{18 \cdot 5}{3} = 6 \cdot 5 = 30$.