Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (2a - x² + 3x) / (x - a²) = 0 имеет ровно два различных корня.

**Ответ: $a \in (-1,125; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 2)$.** **Решение:** Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Уравнение равносильно системе: $\begin{cases} 2a - x^2 + 3x = 0 \\ x - a^2 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 3x - 2a = 0 \quad (1) \\ x \neq a^2 \quad (2) \end{cases}$ Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, должны выполняться два условия: 1. Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня. Это происходит, когда его дискриминант $D > 0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = 9 + 8a$ $9 + 8a > 0 \Rightarrow a > -\frac{9}{8} \Rightarrow a > -1,125$ 2. Ни один из этих двух корней не должен совпадать с ограничением $x = a^2$ из условия (2). Подставим $x = a^2$ в уравнение (1) и найдем «запрещенные» значения $a$, при которых корень «выкалывается»: $(a^2)^2 - 3(a^2) - 2a = 0$ $a^4 - 3a^2 - 2a = 0$ $a(a^3 - 3a - 2) = 0$ Заметим, что для кубического многочлена $a = -1$ является корнем ($(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$). Разложим на множители: $a(a + 1)^2(a - 2) = 0$ Корни этого уравнения: $a_1 = 0$, $a_2 = -1$, $a_3 = 2$. При этих значениях $a$ один из корней уравнения (1) совпадает с $a^2$, и в итоге остается только один корень (или ни одного, если корни совпали между собой и с ограничением, но здесь $D=0$ только при $a = -1,125$). Объединяем условия: $a > -1,125$, исключая $a = 0, -1, 2$.