1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

1. **Ответ: 12 и 7** Пусть числа будут $x$ и $y$. Составим систему уравнений: $\begin{cases} x - y = 5 \\ x \cdot y = 84 \end{cases}$ Из первого: $x = 5 + y$. Подставим во второе: $(5 + y)y = 84 \Rightarrow y^2 + 5y - 84 = 0$. Корни уравнения: $y_1 = 7, y_2 = -12$. Если $y = 7$, то $x = 12$. Если $y = -12$, то $x = -7$. Обычно в таких задачах ищут положительные числа: 12 и 7. 2. **Ответ: 5 см и 12 см** Пусть один катет $x$, тогда другой $x + 7$. Гипотенуза равна 13. По теореме Пифагора: $x^2 + (x + 7)^2 = 13^2$ $x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169$ $2x^2 + 14x - 120 = 0$ $x^2 + 7x - 60 = 0$ Корни: $x_1 = 5, x_2 = -12$ (не подходит). Катеты: 5 см и $5 + 7 = 12$ см. 3. **Ответ: 52 м и 40 м** Длина изгороди — это периметр: $2(a + b) = 184 \Rightarrow a + b = 92$. Площадь: $a \cdot b = 2080$. $b = 92 - a \Rightarrow a(92 - a) = 2080 \Rightarrow a^2 - 92a + 2080 = 0$. $D = 92^2 - 4 \cdot 2080 = 8464 - 8320 = 144$. $a_1 = \frac{92 + 12}{2} = 52, a_2 = \frac{92 - 12}{2} = 40$. Стороны: 52 м и 40 м. 4. **Ответ: 8 см и 2 см** Периметр: $2(a + b) = 20 \Rightarrow a + b = 10$. Сумма площадей квадратов: $2a^2 + 2b^2 = 104 \Rightarrow a^2 + b^2 = 52$. Подставим $b = 10 - a$: $a^2 + (10 - a)^2 = 52$ $a^2 + 100 - 20a + a^2 = 52$ $2a^2 - 20a + 48 = 0$ $a^2 - 10a + 24 = 0$ Корни: $a_1 = 6, a_2 = 4$ — это стороны $a$ и $b$. Однако проверим условие еще раз: если квадраты построены на каждой из четырех сторон, то их сумма $a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2 = 104$. Если же имелось в виду только на двух смежных сторонах ($a^2 + b^2 = 104$), то корни будут другими. Обычно в таких задачах под «сторонами» подразумеваются все четыре стороны. При $a=6, b=4$ сумма $2(36+16)=104$. Стороны: 6 см и 4 см. **Допущение:** В задаче 4 подразумевается сумма площадей четырех квадратов, построенных на каждой стороне прямоугольника.