12.1. Дан куб ABCDA1B1C1D1, точка O — центр грани ABCD (рис. 12.5). Укажите угол между: 1) прямой AB1 и плоскостью A1B1C1D1; 2) прямой AC1 и плоскостью ABC; 3) прямой AC1 и плоскостью CDD1; 4) прямой OA1 и плоскостью ABC; 5) прямой AC и плоскостью ABD.

Привет! Давай разберем это задание по геометрии. **Ответ:** 1) $45^{\circ}$ 2) $\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 35,3^{\circ}$ 3) $0^{\circ}$ 4) $45^{\circ}$ 5) $0^{\circ}$ **Решение:** В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ все грани — квадраты, а ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны. 1) **Между прямой $AB_{1}$ и плоскостью $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$:** Проекцией прямой $AB_{1}$ на верхнюю грань является отрезок $A_{1}B_{1}$. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией, то есть $\angle AB_{1}A_{1}$. В квадрате $ABB_{1}A_{1}$ диагональ $AB_{1}$ образует со стороной угол $45^{\circ}$. 2) **Между прямой $AC_{1}$ и плоскостью $ABC$:** Проекцией диагонали куба $AC_{1}$ на плоскость основания является диагональ квадрата $AC$. Нам нужен угол $\angle C_{1}AC$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда $CC_{1} = a$, а $AC = a\sqrt{2}$. $\operatorname{tg} \angle C_{1}AC = \frac{CC_{1}}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол равен $\operatorname{arctg} \frac{\sqrt{2}}{2}$. 3) **Между прямой $AC_{1}$ и плоскостью $CDD_{1}$:** Ошибка в условии или хитрость: прямая $AC_{1}$ пересекает эту плоскость. Но если рассматривать прямую $C_{1}D_{1}$ (которая лежит в плоскости) и $AC_{1}$ — это не то. Если же вопрос о прямой, лежащей в плоскости, то угол $0^{\circ}$. Проверим: точка $C_{1}$ лежит в плоскости $CDD_{1}$. Проекция точки $A$ на эту плоскость — это точка $D$. Значит, проекция $AC_{1}$ — это $DC_{1}$. Угол $\angle AC_{1}D$ в прямоугольном треугольнике $ADC_{1}$. $\operatorname{tg} \angle AC_{1}D = \frac{AD}{DC_{1}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 4) **Между прямой $OA_{1}$ и плоскостью $ABC$:** Точка $O$ — центр $ABCD$, значит проекция $O$ на $ABC$ — сама точка $O$. Проекция $A_{1}$ на $ABC$ — точка $A$. Проекция прямой $OA_{1}$ — это отрезок $OA$. Угол $\angle A_{1}AO = 90^{\circ}$, так как $A_{1}A \perp ABC$. Ой, тут угол между прямой и плоскостью — это угол между $OA_{1}$ и её проекцией $OA$. В треугольнике $A_{1}AO$: $AA_{1} = a$, $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. $\operatorname{tg} \angle A_{1}OA = \frac{AA_{1}}{AO} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Угол $\operatorname{arctg} \sqrt{2} \approx 54,7^{\circ}$. *Примечание: Если в п. 4 имелась в виду прямая $OC_{1}$, логика такая же.* 5) **Между прямой $AC$ и плоскостью $ABD$:** Прямая $AC$ полностью лежит в плоскости $ABC$ (которая совпадает с плоскостью $ABD$). Угол между прямой и плоскостью, в которой она лежит, равен $0^{\circ}$.