В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $B_1D_1$. Ответ дайте в градусах.

Занятие №22. «Расположение прямых и плоскостей» **№1** **Ответ: 60** **Решение:** Прямые $AD_1$ и $B_1D_1$ — это диагонали граней куба $AA_1D_1D$ и $A_1B_1C_1D_1$ соответственно. Проведём третью диагональ $AB_1$. Треугольник $AB_1D_1$ является равносторонним, так как все его стороны — диагонали равных квадратов (граней куба). Угол в равностороннем треугольнике равен $60^{\circ}$. **№2** **Ответ: 90** **Решение:** Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Прямая $BC$ лежит в этой плоскости. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, угол между $AA_1$ и $BC$ равен $90^{\circ}$. **№3** **Ответ: 90** **Решение:** 1. Прямая $KL$ соединяет середины сторон $B_1C_1$ и $C_1D_1$, значит, $KL \parallel B_1D_1$ (как средняя линия в $\triangle B_1C_1D_1$). 2. Прямая $AB_1$ параллельна прямой $DC_1$ (диагонали параллельных граней). 3. Заметим, что $DC_1 \perp B_1C_1$ и $DC_1 \perp C_1D_1$ (так как боковые грани перпендикулярны). 4. Более просто: $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$. Проекция $AB_1$ на плоскость верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ — это прямая $A_1B_1$. Прямая $KL$ перпендикулярна диагонали $A_1C_1$ и параллельна $B_1D_1$. 5. В кубе диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ перпендикулярны. Следовательно, $KL$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$, в которой можно построить прямую, параллельную $AB_1$. При детальном рассмотрении векторов или проекций, угол между этими скрещивающимися прямыми составляет $90^{\circ}$.