В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой DA1 и плоскостью AA1C.

**Ответ: 30^{\circ}** **Решение:** 1. Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть ребро куба равно $a$. 2. Плоскость $AA_1C$ содержит в себе диагональ основания $AC$ и боковое ребро $AA_1$, то есть это плоскость диагонального сечения $AA_1C_1C$. 3. Чтобы найти угол между прямой $DA_1$ и плоскостью, нужно найти угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. 4. Опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $AA_1C$. Так как куб — правильная фигура, то проекция точки $D$ на плоскость основания $ABCD$ (в которой лежит прямая $AC$) падает на диагональ $AC$. В квадрате $ABCD$ диагонали перпендикулярны, поэтому $DO \perp AC$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. 5. Так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, то $AA_1 \perp DO$. Следовательно, $DO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ($AC$ и $AA_1$), а значит, $DO \perp (AA_1C)$. Точка $O$ — проекция точки $D$ на плоскость. 6. Точка $A_1$ уже лежит в плоскости $AA_1C$. Значит, проекцией прямой $DA_1$ на плоскость $AA_1C$ является прямая $A_1O$. Искомый угол — $\angle DA_1O$. 7. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DA_1O$ ($\angle DOA_1 = 90^{\circ}$): - Гипотенуза $DA_1$ — диагональ грани куба: $DA_1 = a\sqrt{2}$. - Катет $DO$ — половина диагонали основания: $DO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. 8. Найдем синус искомого угла $\alpha$: $$\sin \alpha = \frac{DO}{DA_1} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$ 9. Следовательно, $\alpha = 30^{\circ}$.