Дано: A...D1 — куб. Найти: угол между прямой DC1 и пл. AA1D1D.

**81. Ответ: 90°** Прямая $DC_1$ лежит в плоскости правой грани $(DCC_1D_1)$. В кубе плоскость $(DCC_1D_1)$ перпендикулярна плоскости задней грани $(AA_1D_1D)$. Поскольку прямая $DC_1$ пересекает плоскость $(AA_1D_1D)$ в точке $D$, и вся плоскость, в которой она лежит, перпендикулярна $(AA_1D_1D)$, а проекция $DC_1$ на $(AA_1D_1D)$ — это точка $D$ (точнее, прямая $DC$ перпендикулярна грани), то согласно свойствам куба, ребро $DC$ перпендикулярно грани $(AA_1D_1D)$. Следовательно, любая прямая в грани $(DCC_1D_1)$, проходящая через $D$, будет образовывать с плоскостью $(AA_1D_1D)$ угол, определяемый её наклоном. Однако, в данном случае прямая $DC$ перпендикулярна плоскости $(AA_1D_1D)$, значит угол равен $90^\circ$. **83. Ответ: 30°** Плоскость $(DA_1B_1C)$ — это диагональное сечение куба. Проекцией прямой $DC_1$ на эту плоскость является отрезок, лежащий на прямой, соединяющей $D$ и центр грани $A_1B_1CD$. В кубе угол между диагональю грани и диагональным сечением, проходящим через параллельную диагональ противоположной грани, вычисляется через синус: $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\phi = 30^\circ$. **85. Ответ: $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$** Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. В кубе угол между диагональю грани ($DC_1$) и плоскостью, проходящей через диагонали смежных граней ($AB_1C$), находится по формуле $\sin \alpha = \frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} \cdot \sqrt{x^2+y^2+z^2}}$. Для куба со стороной 1 этот угол равен $\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}$, что примерно $35,26^\circ$. **87. Ответ: 2** 1. Прямая $CA_1$ — диагональ куба. Плоскость $(AA_1B_1B)$ — боковая грань. 2. Проекция $CA_1$ на плоскость $(AA_1B_1B)$ — это диагональ грани $BA_1$. 3. Угол $\alpha$ — это угол $CA_1B$ в прямоугольном треугольнике $A_1BC$ (где $\angle ABC = 90^\circ$ не подходит, здесь $\angle CBA_1 = 90^\circ$ так как $CB \perp (AA_1B_1B)$). 4. В $\triangle A_1BC$: $BC = a$ (ребро), $A_1B = a\sqrt{2}$ (диагональ грани). 5. $\text{ctg } \alpha = \frac{A_1B}{BC} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$. 6. По условию $\text{ctg } \alpha = \sqrt{x}$, значит $\sqrt{x} = \sqrt{2} \Rightarrow x = 2$.