Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см , а её боковое ребро 2\sqrt{3} см . Вычислить объём призмы.

**1. Ответ: 8\sqrt{3} см^3** Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. В основании правильный треугольник со стороной $a = 4$ см. Его площадь: $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$$ Высота призмы $h$ равна боковому ребру $2\sqrt{3}$ см. $$V = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24 \text{ см}^3$$ **2. Ответ: 500 см^3** В основании правильной четырёхугольной призмы — квадрат. Радиус описанной окружности $R = 5\sqrt{2}$ см. Сторона квадрата $a = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10$ см. $$S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2$$ $$V = S_{осн} \cdot h = 100 \cdot 10 = 1000 \text{ см}^3$$ **3. Ответ: 240 см^3** Площадь основания (треугольника): $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \text{ см}^2$. Высота призмы $H = 8$ см. $$V = 30 \cdot 8 = 240 \text{ см}^3$$ **4. Ответ: 480 см^3** Площадь основания (прямоугольника): $S_{осн} = 8 \cdot 6 = 48 \text{ см}^2$. Высота призмы $H = 10$ см. $$V = 48 \cdot 10 = 480 \text{ см}^3$$ **5. Ответ: 224 см^3** **Допущение: под диагональю призмы понимается d = 9 см.** Пусть $a$ — сторона основания (квадрата), $H$ — высота. Диагональ основания $d_{осн} = a\sqrt{2}$. Из треугольника с диагональю призмы: $d^2 = d_{осн}^2 + H^2 \Rightarrow 81 = 2a^2 + H^2$. Из треугольника боковой грани: $d_{грани}^2 = a^2 + H^2 \Rightarrow 65 = a^2 + H^2$. Вычтем второе из первого: $81 - 65 = (2a^2 + H^2) - (a^2 + H^2) \Rightarrow 16 = a^2 \Rightarrow a = 4$ см. Найдём $H^2$: $65 = 16 + H^2 \Rightarrow H^2 = 49 \Rightarrow H = 7$ см. $$S_{осн} = a^2 = 16 \text{ см}^2$$ $$V = 16 \cdot 7 = 112 \text{ см}^3$$ **6. Ответ: 288 см^3** В основании ромб. Сторона $a = 5$ см, диагональ $d_1 = 8$ см. Половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник. $(\frac{d_2}{2})^2 = a^2 - (\frac{d_1}{2})^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow \frac{d_2}{2} = 3 \Rightarrow d_2 = 6$ см. $$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$$ Диагональ боковой грани 13 см, сторона основания 5 см. По теореме Пифагора высота $H$: $$H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$ $$V = 24 \cdot 12 = 288 \text{ см}^3$$