Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а разность гипотенузы и меньшего катета — 5 см. Найдите эти стороны треугольника.

1. **Ответ: Катет — 5 см, гипотенуза — 10 см.** В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Пусть катет — $x$, тогда гипотенуза — $2x$. $2x - x = 5$ $x = 5$ (см) — меньший катет. $2 \cdot 5 = 10$ (см) — гипотенуза. 2. **Ответ: $BK = 5$ см.** В треугольнике $ACK$ ($\angle K = 90^{\circ}$): $CK = AC \cdot \sin 30^{\circ} = 10 \cdot 0,5 = 5$ см. В треугольнике $BCK$ ($\angle K = 90^{\circ}$): так как $\angle B = 45^{\circ}$, то треугольник равнобедренный, значит $BK = CK = 5$ см. 3. **Ответ: $AB = 28$ см.** В треугольнике $ABC$ ($\\angle C = 90^{\circ}$): пусть $BC = a$. Так как $\angle A = 30^{\circ}$, то $BC$ лежит против него, значит гипотенуза $AB = 2a$. В треугольнике $BCD$ ($\angle D = 90^{\circ}$): $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$, тогда $\angle BCD = 30^{\circ}$. Катет $BD$ лежит против угла $30^{\circ}$ в треугольнике $BCD$, значит гипотенуза $BC = 2 \cdot BD = 2 \cdot 7 = 14$ см. $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 14 = 28$ см. 4. **Ответ: $\angle B = 30^{\circ}$.** В прямоугольном треугольнике $ACK$ ($\angle K = 90^{\circ}$): $\sin \angle A = \frac{CK}{AC} = \frac{7}{14} = 0,5$. Значит, $\angle A = 30^{\circ}$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): $\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. **Допущение:** В условии 4-й задачи опечатка в вопросе или данных, если требуется найти стандартный угол. Исходя из $\sin A = 0,5$, угол $A=30^{\circ}$, тогда $B=60^{\circ}$. Однако, если $CK$ — высота из прямого угла, то в треугольнике $ABC$: $\angle B$ и $\angle ACK$ равны. Если $\sin(\angle ACK) = 7/14 = 0,5$, то $\angle ACK = 30^{\circ}$, следовательно $\angle B = 30^{\circ}$.