Решите неравенство $\sqrt{6x - 9} < x$

**Ответ: $x > 3$** Решим иррациональное неравенство: $$\sqrt{6x - 9} < x$$ Для решения такого типа неравенств $(\sqrt{f(x)} < g(x))$ необходимо составить систему условий: 1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6x - 9 \ge 0$. 2. Правая часть должна быть строго больше нуля (так как корень всегда неотрицателен): $x > 0$. 3. При соблюдении этих условий можно возвести обе части в квадрат: $6x - 9 < x^2$. $$\begin{cases} 6x \ge 9 \\ x > 0 \\ x^2 - 6x + 9 > 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x \ge 1,5 \\ x > 0 \\ (x - 3)^2 > 0 \end{cases}$$ Разберем третье условие: $(x - 3)^2 > 0$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому неравенство верно для всех $x$, кроме того значения, где выражение равно нулю. То есть $x \neq 3$. Объединяем все условия: 1. $x \ge 1,5$ 2. $x > 0$ 3. $x \neq 3$ Следовательно, решением является промежуток: $[1,5; 3) \cup (3; +\infty)$.