1. Решите неравенство (3x-7)² ≥ (7x-3)²

1. **Ответ: $x \in [-1; 1]$** Перенесем всё в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$(3x - 7)^2 - (7x - 3)^2 \ge 0$$ $$((3x - 7) - (7x - 3))((3x - 7) + (7x - 3)) \ge 0$$ $$(3x - 7 - 7x + 3)(3x - 7 + 7x - 3) \ge 0$$ $$(-4x - 4)(10x - 10) \ge 0$$ $$-4(x + 1) \cdot 10(x - 1) \ge 0$$ $$-40(x + 1)(x - 1) \ge 0$$ Разделим на $-40$, сменив знак неравенства: $$(x + 1)(x - 1) \le 0$$ Корни: $x = -1$ и $x = 1$. По методу интервалов решением будет отрезок $[-1; 1]$. 2. **Ответ: $x_1 = 2; x_2 = 1\frac{1}{3}$** ОДЗ: $x \ne 1$. Пусть $\frac{1}{x-1} = t$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 2t - 3 = 0$$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$. Вернемся к замене: 1) $\frac{1}{x-1} = 1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$ 2) $\frac{1}{x-1} = -3 \Rightarrow -3(x-1) = 1 \Rightarrow -3x + 3 = 1 \Rightarrow -3x = -2 \Rightarrow x = \frac{2}{3} + 1 \text{ (ошибка в вычислении, пересчитаем: } x-1 = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \text{ )}$ — уточним решение: $x - 1 = -\frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. **Исправленный ответ: $x_1 = 2; x_2 = \frac{2}{3}$** 3. **Ответ: $(1; 2), (-1; 2)$** $$\begin{cases} 2x^2 + y = 4 \\ 4x^2 - y = 2 \end{cases}$$ Сложим уравнения системы: $$(2x^2 + y) + (4x^2 - y) = 4 + 2$$ $$6x^2 = 6 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1$$ Подставим $x^2 = 1$ в первое уравнение: $$2(1) + y = 4 \Rightarrow y = 2$$ 4. **Ответ: $x \in (1,2; 2)$** $$\begin{cases} 36x + 12 - 36x - 27 > 3x \\ (x - 2)(x + 9) < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -15 > 3x \\ -9 < x < 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -5 \\ -9 < x < 2 \end{cases}$$ **Исправленный ответ: $x \in (-9; -5)$** (В первом неравенстве: $36x + 12 - 36x - 27 = -15$, тогда $3x < -15 \Rightarrow x < -5$). 5. **Ответ: 162** $$\frac{18^n}{3^{2n-1} \cdot 2^{n-2}} = \frac{(2 \cdot 3^2)^n}{3^{2n-1} \cdot 2^{n-2}} = \frac{2^n \cdot 3^{2n}}{3^{2n-1} \cdot 2^{n-2}} = 2^{n-(n-2)} \cdot 3^{2n-(2n-1)} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$$ Перепроверим: $2^{n-n+2} = 2^2 = 4$; $3^{2n-2n+1} = 3^1 = 3$. Итого $4 \cdot 3 = 12$.