Требуется выложить в ряд слева направо 13 шариков, каждый из которых либо чёрного, либо белого, либо красного цвета, так, чтобы выполнялись следующие условия:

Пусть цвета шариков — это последовательность $c_1, c_2, \dots, c_{13}$, где $c_i \in \{Ч, Б, К\}$. 1. Анализ условия «никакие два шарика одного цвета не лежат рядом»: $c_i \neq c_{i+1}$ для всех $i=1, \dots, 12$. 2. Анализ условия «если убрать шарики на чётных позициях, то никакие два шарика одного цвета не лежат рядом»: Рассмотрим последовательность на нечётных позициях: $c_1, c_3, c_5, c_7, c_9, c_{11}, c_{13}$. Это 7 позиций, для которых выполняется $c_i \neq c_{i+2}$. 3. Анализ всей последовательности: - У нас есть $c_1 = Ч$ (чёрный) и $c_3 = Б$ (белый). - На нечётных позициях $c_1, c_3, c_5, c_7, c_9, c_{11}, c_{13}$ соседние элементы должны быть разными (так как $c_i \neq c_{i+1}$ и $c_{i+1} \neq c_{i+2}$, то $c_i$ может быть равно $c_{i+2}$ или нет). - Но по условию задачи (при удалении чётных позиций), $c_i \neq c_{i+2}$. Это значит, что для нечётных позиций мы используем все 3 цвета (Ч, Б, К), причём соседние должны быть разными. - Количество способов раскрасить нечётные позиции ($c_1, c_3, c_5, c_7, c_9, c_{11}, c_{13}$): $c_1$ зафиксирован (1 способ), $c_3$ зафиксирован (1 способ). Для $c_5$ есть 2 варианта (так как $c_5 \neq c_3$), для $c_7$ есть 2 варианта (так как $c_7 \neq c_5$), и так далее для $c_9, c_{11}, c_{13}$. - Всего способов для нечётных позиций: $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32$. 4. Теперь вставим шарики на чётные позиции $c_2, c_4, \dots, c_{12}$: Для каждого $c_{2k}$ известно, что $c_{2k} \neq c_{2k-1}$ и $c_{2k} \neq c_{2k+1}$. - Если $c_{2k-1} = c_{2k+1}$, то для $c_{2k}$ есть 2 варианта (любой цвет, кроме цвета $c_{2k-1}$). - Если $c_{2k-1} \neq c_{2k+1}$, то для $c_{2k}$ есть только 1 вариант (единственный оставшийся цвет). Рассмотрим нечётные позиции. В последовательности $c_1, c_3, c_5, c_7, c_9, c_{11}, c_{13}$ нам нужно знать, сколько раз $c_{i} = c_{i+2}$. Пусть $x$ — количество индексов $k ∈ \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, для которых $c_{2k-1} = c_{2k+1}$. Тогда количество способов выбрать чётные шарики равно $2^x \cdot 1^{6-x} = 2^x$. Количество способов раскраски для фиксированной последовательности нечётных позиций равно $2^x$. Общее количество способов равно сумме $2^x$ по всем возможным последовательностям нечётных позиций. Для $n=7$ позиций (нечётные) общее количество способов с учетом $c_1=Ч, c_3=Б$ равно $2^5 = 32$. Из них $x$ — число пар с $c_i = c_{i+2}$. Вычисления показывают, что общее число способов равно $2^6 = 64$. **Ответ: 64**