1. На рисунке 62 точка O — центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC.

Привет! Давай разберем эти геометрические задачи на свойства окружности. ### Задача 1 **Дано:** Окружность с центром $O$, $\angle ABC = 28^\circ$ (вписанный угол). **Найти:** $\angle AOC$ (центральный угол). **Решение:** Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного. $\angle AOC = 2 \times \angle ABC = 2 \times 28^\circ = 56^\circ$. **Ответ:** $56^\circ$. ### Задача 2 **Дано:** Окружность с центром $O$, радиус $OC = 6$ см, касательная $CD$, $\angle DCO = 30^\circ$. В точке касания радиус перпендикулярен касательной, значит $\angle ODC = 90^\circ$. **Найти:** $OC$. *Примечание: В условии уже дано, что радиус $OC = 6$ см. Возможно, имелось в виду найти отрезок $OD$ или $CD$. Если нужно найти $OD$, то это просто радиус, он равен 6 см. Если нужно найти $CD$, то:* В прямоугольном треугольнике $\triangle ODC$ (где $\angle D = 90^\circ$): $CD = OC \times \cos(30^\circ) = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. **Ответ:** Если вопрос про $OC$, то $6$ см. Если про $CD$, то $3\sqrt{3}$ см. ### Задача 3 **Дано:** Окружность с центром $O$, диаметр $AB$, хорды $AC$ и $AD$, $\angle BAC = \angle BAD$ (подразумевается, что на рисунке 63 углы равны). **Доказать:** $AC = AD$. **Доказательство:** Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Так как $AB$ — диаметр, то вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые: $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle ADB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ — прямоугольные. У них общая сторона $AB$ (гипотенуза) и $\angle BAC = \angle BAD$ (по условию). Значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AC = AD$. ### Задача 4 (Верные утверждения) 1. "Все хорды одной окружности равны между собой" — **Неверно**. (Равны только при равных дугах/расстоянии от центра). 2. "Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания" — **Верно**. 3. "Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности" — **Верно**. 4. "Если из точки M проведены две касательные к окружности и A и B — точки касания, то отрезки MA и MB равны" — **Верно**. 5. "Все касательные к окружности, проведённые из одной точки, параллельны" — **Неверно**.