Найдите наибольшее значение функции f(x) = x^2 / (x + 1) при |x + 2,5| ≤ 1

**Ответ: -2,25** Решение: 1. Найдём границы промежутка для $x$ из неравенства с модулем: $$|x + 2,5| \le 1$$ $$-1 \le x + 2,5 \le 1$$ $$-3,5 \le x \le -1,5$$ Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции на отрезке $[-3,5; -1,5]$. 2. Найдём производную функции $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$: $$f'(x) = \frac{(x^2)'(x+1) - x^2(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$ 3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $$\frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0 \implies x(x + 2) = 0$$ $$x_1 = 0, \quad x_2 = -2$$ 4. Проверим, какие точки попадают в отрезок $[-3,5; -1,5]$: - $x = 0$ не входит в отрезок. - $x = -2$ входит в отрезок. 5. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - $f(-2) = \frac{(-2)^2}{-2+1} = \frac{4}{-1} = -4$ - $f(-3,5) = \frac{(-3,5)^2}{-3,5+1} = \frac{12,25}{-2,5} = -4,9$ - $f(-1,5) = \frac{(-1,5)^2}{-1,5+1} = \frac{2,25}{-0,5} = -4,5$ Сравним значения: $-4$; $-4,9$; $-4,5$. На отрезке функция сначала убывает до локального максимума в точке $-2$ (так как это точка максимума для данной функции), а затем убывает. Однако, проверим знаки производной: На $(-3,5; -2)$ производная положительная (например, $f'(-3) = \frac{9-6}{4} > 0$), функция возрастает. На $(-2; -1,5)$ производная отрицательная (например, $f'(-1,7) = \frac{2,89-3,4}{0,49} < 0$), функция убывает. Следовательно, $x = -2$ — точка максимума на этом отрезке. **Допущение:** В задании может подразумеваться поиск наибольшего значения по модулю или допущена опечатка в условиях, так как все значения отрицательны. Если искать максимум среди отрицательных чисел, то это $-4$. Но перепроверим расчеты. Наибольшее число — это то, которое ближе к нулю. $-4 > -4,5 > -4,9$. Наибольшее значение функции равно $-4$.