Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$

1. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота призмы. Основание — правильный треугольник со стороной $a = 2$. Площадь правильного треугольника: $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$ Высота призмы $h = \sqrt{3}$. Объём призмы: $$V = S_{осн} \cdot h = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$$ **Ответ: 3** 2. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. Дан прямоугольный параллелепипед. Пусть его измерения будут $a, b, c$. По условию даны два ребра: $a=2$ и $b=8$. Объём $V=160$. Объём прямоугольного параллелепипеда: $V = a \cdot b \cdot c$. Найдем третье ребро $c$: $$160 = 2 \cdot 8 \cdot c$$ $$160 = 16c$$ $$c = \frac{160}{16} = 10$$ Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: $S = 2(ab + bc + ac)$. $$S = 2(2 \cdot 8 + 8 \cdot 10 + 2 \cdot 10)$$ $$S = 2(16 + 80 + 20)$$ $$S = 2(116)$$ $$S = 232$$ **Ответ: 232** 3. Найдите объём этой пирамиды. В треугольной пирамиде $ABCD$ рёбра $AB, AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Это значит, что эти рёбра можно принять за измерения прямоугольного параллелепипеда, а объём пирамиды будет составлять $1/6$ от объёма этого параллелепипеда. Объём пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$. В данном случае можно принять $AB$ за высоту, а треугольник $ACD$ за основание, но удобнее рассмотреть, что $AB, AC, AD$ являются катетами прямоугольного тетраэдра. Объём такой пирамиды равен: $$V = \frac{1}{6} \cdot AB \cdot AC \cdot AD$$ Дано: $AB = 2$, $AC = 15$, $AD = 11$. $$V = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 15 \cdot 11$$ $$V = \frac{1}{6} \cdot 330$$ $$V = 55$$ **Ответ: 55** 4. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды. Правильная четырёхугольная пирамида имеет в основании квадрат. Сторона основания $a = 6$. Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$. Боковое ребро $l = \sqrt{43}$. Чтобы найти объём пирамиды $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, нам нужна высота $h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, половиной диагонали основания $d/2$ и боковым ребром $l$. Диагональ основания (квадрата): $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$. Половина диагонали: $d/2 = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. По теореме Пифагора: $$h^2 + (d/2)^2 = l^2$$ $$h^2 + (3\sqrt{2})^2 = (\sqrt{43})^2$$ $$h^2 + (9 \cdot 2) = 43$$ $$h^2 + 18 = 43$$ $$h^2 = 43 - 18$$ $$h^2 = 25$$ $$h = 5$$ Теперь найдем объём пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5$$ $$V = 12 \cdot 5$$ $$V = 60$$ **Ответ: 60**