Медиана AM треугольника ABC равна отрезку BM. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов.

1. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $AM = BM$, то треугольник $ABM$ равнобедренный. Это значит, что углы при основании равны: $\angle BAM = \angle ABM$ (или $\angle A = \angle B_1$). 2. Рассмотрим треугольник $AMC$. Пусть $CM = x$. Тогда $BC = 2x$. Так как $AM$ — медиана, то $M$ — середина $BC$, то есть $BM = MC = x$. 3. По условию, $AM = BM$. Значит, $AM = BM = MC = x$. То есть, в треугольнике $AMC$ стороны $AM$ и $MC$ равны $x$. Следовательно, треугольник $AMC$ равнобедренный, и углы при основании равны: $\angle MAC = \angle MCA$ (или $\angle A_1 = \angle C$). 4. Теперь посмотрим на внешний угол треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В треугольнике $ABM$ внешний угол при вершине $M$ (то есть $\angle AMC$) равен сумме $\angle BAM + \angle ABM$. 5. Мы знаем, что $\angle BAM = \angle ABM$. Пусть $\angle ABM = \beta$ и $\angle BAM = \beta$. Тогда $\angle AMC = \beta + \beta = 2\beta$. 6. Так как $\angle MAC = \angle MCA$, и $\angle MAC$ это часть $\angle A$, а $\angle MCA$ это $\angle C$. Тогда $\angle C = \angle A_1 = \angle MAC$. 7. В треугольнике $AMC$, углы $\angle MAC$ и $\angle C$ равны. А $\angle AMC = 2\beta$. Сумма углов в треугольнике $AMC$ равна $180^\circ$: $\angle MAC + \angle MCA + \angle AMC = 180^\circ$. Значит, $\angle C + \angle C + 2\beta = 180^\circ$, или $2\angle C + 2\beta = 180^\circ$, откуда $\angle C + \beta = 90^\circ$. Это не подходит. 8. Возвращаемся к равнобедренному треугольнику $AMC$. Углы при основании $\angle MAC = \angle MCA$. Мы знаем, что $\angle AMC = 2\beta$. Тогда $\angle MAC = \angle MCA = (180^\circ - 2\beta) / 2 = 90^\circ - \beta$. 9. Теперь рассмотрим угол $BAC$ треугольника $ABC$. Угол $BAC = \angle BAM + \angle MAC$. Подставляем значения: $\angle BAC = \beta + (90^\circ - \beta) = 90^\circ$. 10. Таким образом, $\angle BAC = 90^\circ$. А $\angle ABC = \beta$ и $\angle BCA = 90^\circ - \beta$. 11. Проверим утверждение: один из углов треугольника $ABC$ равен сумме двух других углов. У нас $\angle BAC = 90^\circ$. Сумма двух других углов: $\angle ABC + \angle BCA = \beta + (90^\circ - \beta) = 90^\circ$. Значит, $\angle BAC = \angle ABC + \angle BCA$. **Что и требовалось доказать.**