Найдите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в пирамиду, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см, а все двугранные углы при рёбрах основания равны 30°.

1. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ $$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$ 2. Так как все двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания. Радиус этой окружности ($r$) равен: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ $$r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$$ 3. Высота боковой грани ($h_s$) пирамиды (и одновременно образующая конуса $l$) может быть найдена через радиус вписанной окружности и угол двугранного угла: Так как двугранный угол равен $30^\circ$, то $\tan 30^\circ = \frac{H}{r}$, где $H$ — высота пирамиды, а $r$ — радиус вписанной окружности. Тогда $H = r \tan 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ Образующая конуса ($l$) является высотой боковой грани пирамиды. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом вписанной окружности, высотой пирамиды и апофемой, апофема является гипотенузой: $$l = \frac{r}{\cos 30^\circ}$$ $$l = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ см}$$ 4. Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $$S_{бок} = \pi r l$$ $$S_{бок} = \pi \cdot 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8\pi}{\sqrt{3}} = \frac{8\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2$$ **Ответ:** $\frac{8\pi\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2$