Найдите значение выражения (11/8 - 1 7/11) * 2,2

1. Чтобы найти значение выражения, сначала нужно выполнить операции внутри скобок, а затем возвести результат в степень: $$\left(\frac{11}{8} - 1\frac{7}{11}\right) \cdot 2,2 = \left(\frac{11}{8} - \frac{18}{11}\right) \cdot \frac{22}{10}$$ Найдём общий знаменатель для дробей в скобках. Это $8 \cdot 11 = 88$: $$=\left(\frac{11 \cdot 11}{8 \cdot 11} - \frac{18 \cdot 8}{11 \cdot 8}\right) \cdot \frac{22}{10} = \left(\frac{121}{88} - \frac{144}{88}\right) \cdot \frac{22}{10}$$ $$= \left(\frac{121 - 144}{88}\right) \cdot \frac{22}{10} = \left(-\frac{23}{88}\right) \cdot \frac{22}{10}$$ Теперь можно сократить дроби: $$= -\frac{23}{88} \cdot \frac{22}{10} = -\frac{23}{4 \cdot 22} \cdot \frac{22}{10} = -\frac{23}{4 \cdot 10} = -\frac{23}{40}$$ Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $$-\frac{23}{40} = -0,575$$ **Ответ: -0,575** 2. Чтобы найти значение выражения, нужно упростить его: $$8\sqrt{6} - \sqrt{2}\sqrt{3} = 8\sqrt{6} - \sqrt{2 \cdot 3} = 8\sqrt{6} - \sqrt{6} = 7\sqrt{6}$$ **Ответ: $7\sqrt{6}$** 3. Реши уравнение: $10 - 8(x - 6) = 2 - 4x$ Раскроем скобки: $$10 - 8x + 48 = 2 - 4x$$ Приведём подобные слагаемые: $$58 - 8x = 2 - 4x$$ Перенесём все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$58 - 2 = 8x - 4x$$ $$56 = 4x$$ Разделим обе части на 4: $$x = \frac{56}{4}$$ $$x = 14$$ **Ответ: 14** 4. Установи соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Функции: 1) $y = -\frac{1}{x}$ 2) $y = -x^2 - 2$ 3) $y = \frac{1}{x}$ 4) $y = \sqrt{x}$ Графики: A) Гипербола, расположенная в первой и третьей четвертях. Это график функции $y = \frac{1}{x}$. Б) Парабола, ветви направлены вниз, вершина смещена вниз относительно начала координат. Это график функции $y = -x^2 - 2$. В) Гипербола, расположенная во второй и четвёртой четвертях. Это график функции $y = -\frac{1}{x}$. Г) Часть параболы (ветвь), начинающаяся в начале координат и расположенная в первой четверти. Это график функции $y = \sqrt{x}$. Соответствие: | А | Б | В | Г | |---|---|---|---| | 3 | 2 | 1 | 4 | 5. Для каждого неравенства укажите множество его решений. a) $x^2 + 9 > 0$ Так как $x^2$ всегда больше или равно 0, то $x^2 + 9$ всегда будет больше 0 при любых значениях $x$. Значит, решение этого неравенства — все действительные числа, то есть $(-\infty; +\infty)$. b) $x^2 - 9 > 0$ Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$. Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковый знак: - Оба положительные: $x - 3 > 0$ и $x + 3 > 0 \implies x > 3$ и $x > -3 \implies x > 3$. Интервал: $(3; +\infty)$. - Оба отрицательные: $x - 3 < 0$ и $x + 3 < 0 \implies x < 3$ и $x < -3 \implies x < -3$. Интервал: $(-\infty; -3)$. Объединяя интервалы, получаем: $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. c) $x^2 - 9 < 0$ Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) < 0$. Это неравенство выполняется, когда множители имеют разные знаки: - $x - 3 > 0$ и $x + 3 < 0 \implies x > 3$ и $x < -3$. Таких $x$ нет. - $x - 3 < 0$ и $x + 3 > 0 \implies x < 3$ и $x > -3$. Это означает $-3 < x < 3$. Интервал: $(-3; 3)$. Соответствие: | a | b | c | |---|---|---| | 2 | 3 | 1 | **Ответ: a) 2, b) 3, c) 1** 6. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $46^\circ$, внешний угол при вершине $B$ равен $115^\circ$. Найдите градусную меру угла $C$. Внешний угол при вершине $B$ равен $115^\circ$. Внутренний угол $B$ и внешний угол при вершине $B$ образуют смежные углы, их сумма равна $180^\circ$. Значит, внутренний угол $B$ равен: $$ \angle B = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ $$ Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. У нас есть угол $A = 46^\circ$ и угол $B = 65^\circ$. Найдем угол $C$: $$ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$$ $$ \angle C = 180^\circ - 46^\circ - 65^\circ = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ $$ **Ответ: $69^\circ$** 7. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковая сторона $AB$ равна $14$, а $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Найдите высоту, проведенную к основанию. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $AB = BC = 14$. Угол $A$ — это угол при основании. Косинус угла $A$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует углу $30^\circ$. Проведём высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Треугольник $ABH$ будет прямоугольным с гипотенузой $AB = 14$ и углом $A = 30^\circ$. Высота $BH$ является катетом, противолежащим углу $A$. Её можно найти с помощью синуса угла $A$: $$ \sin A = \frac{BH}{AB} $$ $$ BH = AB \cdot \sin A $$ Мы знаем, что $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значит $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$. Теперь подставим значения: $$ BH = 14 \cdot \frac{1}{2} = 7 $$ **Ответ: 7** 8. Билет в музей стоит 150 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 40% от полной стоимости билета. Сколько рублей нужно заплатить за билеты на группу, состоящую из 28 школьников и 2 учителей? Стоимость билета для школьника составляет 40% от 150 рублей: $$ 150 \cdot 0,40 = 60 \text{ рублей} $$ Общая стоимость билетов для 28 школьников: $$ 28 \cdot 60 = 1680 \text{ рублей} $$ Общая стоимость билетов для 2 учителей (для учителей билеты по полной стоимости): $$ 2 \cdot 150 = 300 \text{ рублей} $$ Общая стоимость для всей группы: $$ 1680 + 300 = 1980 \text{ рублей} $$ **Ответ: 1980 рублей** 9. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166, 134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы? Сначала найдём среднее арифметическое. Для этого сложим все числа и разделим на их количество (5): $$ \text{Среднее арифметическое} = \frac{158 + 166 + 134 + 130 + 132}{5} = \frac{720}{5} = 144 $$ Теперь найдём медиану. Для этого сначала упорядочим числа по возрастанию: $$ 130, 132, 134, 158, 166 $$ Медиана — это число, которое находится посередине упорядоченного ряда. В данном случае это 134. Найдём разницу между средним арифметическим и медианой: $$ 144 - 134 = 10 $$ **Ответ: 10** 10. Решить систему уравнений: $$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ x^2 - 11x + 14 = -2y \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $y$: $$ y = 1 - 2x $$ Подставим это выражение во второе уравнение: $$ x^2 - 11x + 14 = -2(1 - 2x) $$ $$ x^2 - 11x + 14 = -2 + 4x $$ Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые: $$ x^2 - 11x - 4x + 14 + 2 = 0 $$ $$ x^2 - 15x + 16 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 225 - 64 = 161 $$ Теперь найдем корни $x$: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{161}}{2} $$ Получаем два значения для $x$: $$ x_1 = \frac{15 + \sqrt{161}}{2} $$ $$ x_2 = \frac{15 - \sqrt{161}}{2} $$ Теперь найдём соответствующие значения $y$ для каждого $x$: Для $x_1 = \frac{15 + \sqrt{161}}{2}$: $$ y_1 = 1 - 2x_1 = 1 - 2 \left(\frac{15 + \sqrt{161}}{2}\right) = 1 - (15 + \sqrt{161}) = 1 - 15 - \sqrt{161} = -14 - \sqrt{161} $$ Для $x_2 = \frac{15 - \sqrt{161}}{2}$: $$ y_2 = 1 - 2x_2 = 1 - 2 \left(\frac{15 - \sqrt{161}}{2}\right) = 1 - (15 - \sqrt{161}) = 1 - 15 + \sqrt{161} = -14 + \sqrt{161} $$ **Ответ: $x_1 = \frac{15 + \sqrt{161}}{2}, y_1 = -14 - \sqrt{161}$; $x_2 = \frac{15 - \sqrt{161}}{2}, y_2 = -14 + \sqrt{161}$** 11. Из точки $A$ проведены две касательные к окружности с центром в точке $O$. Найдите расстояние от точки $A$ до точки $O$, если угол между касательными равен $60^\circ$, а радиус окружности равен $6$. Пусть точки касания будут $K_1$ и $K_2$. Тогда треугольники $AK_1O$ и $AK_2O$ являются прямоугольными ($OK_1 \perp AK_1$ и $OK_2 \perp AK_2$, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). $OK_1 = OK_2 = r = 6$ (радиусы). $AO$ — это биссектриса угла между касательными, поэтому она делит угол $A$ пополам. Если угол между касательными равен $60^\circ$, то $\angle K_1AO = \angle K_2AO = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AK_1O$. В нём известен катет $OK_1 = 6$ (противолежащий углу $K_1AO$) и угол $K_1AO = 30^\circ$. Нам нужно найти гипотенузу $AO$. Используем синус угла: $$ \sin(\angle K_1AO) = \frac{OK_1}{AO} $$ $$ \sin(30^\circ) = \frac{6}{AO} $$ Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. $$ \frac{1}{2} = \frac{6}{AO} $$ $$ AO = 6 \cdot 2 = 12 $$ **Ответ: 12**