Решите систему уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \\ xy = -16 \end{cases}$

20. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \\ xy = -16 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = -\frac{16}{x}$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$x^2 + \left(-\frac{16}{x}\right)^2 = 68$$ $$x^2 + \frac{256}{x^2} = 68$$ Умножим всё на $x^2$ (при условии, что $x \neq 0$): $$x^4 + 256 = 68x^2$$ Перенесём все члены в одну сторону: $$x^4 - 68x^2 + 256 = 0$$ Сделаем замену переменной: $t = x^2$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 68t + 256 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 4624 - 1024 = 3600$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{3600} = 60$$ Найдем корни $t_1$ и $t_2$: $$t_1 = \frac{68 - 60}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64$$ Теперь вернёмся к $x^2 = t$. Случай 1: $x^2 = 4$ $$x = \pm 2$$ Если $x = 2$, то $y = -\frac{16}{2} = -8$. Если $x = -2$, то $y = -\frac{16}{-2} = 8$. Случай 2: $x^2 = 64$ $$x = \pm 8$$ Если $x = 8$, то $y = -\frac{16}{8} = -2$. Если $x = -8$, то $y = -\frac{16}{-8} = 2$. **Ответ:** $(2; -8)$, $(-2; 8)$, $(8; -2)$, $(-8; 2)$. 21. Пусть скорость течения реки равна $v_т$ км/ч. Скорость теплохода в неподвижной воде $v_с = 22$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки: $v_п = v_с + v_т = 22 + v_т$ км/ч. Скорость теплохода против течения реки: $v_{пр} = v_с - v_т = 22 - v_т$ км/ч. Расстояние в одну сторону $S = 240$ км. Время в пути по течению: $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{240}{22 + v_т}$ часов. Время в пути против течения: $t_{пр} = \frac{S}{v_{пр}} = \frac{240}{22 - v_т}$ часов. Общее время, через которое теплоход возвращается в пункт отправления, равно 32 часа. Время стоянки составляет 10 часов. Время движения теплохода составляет $T_{движения} = 32 - 10 = 22$ часа. Следовательно, $t_п + t_{пр} = 22$. $$\frac{240}{22 + v_т} + \frac{240}{22 - v_т} = 22$$ Вынесем 240 за скобки: $$240 \left( \frac{1}{22 + v_т} + \frac{1}{22 - v_т} \right) = 22$$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$240 \left( \frac{22 - v_т + 22 + v_т}{(22 + v_т)(22 - v_т)} \right) = 22$$ $$240 \left( \frac{44}{22^2 - v_т^2} \right) = 22$$ $$240 \left( \frac{44}{484 - v_т^2} \right) = 22$$ Разделим обе части на 22: $$120 \left( \frac{44}{484 - v_т^2} \right) = 11$$ $$120 \cdot 44 = 11 (484 - v_т^2)$$ $$5280 = 11 (484 - v_т^2)$$ Разделим обе части на 11: $$\frac{5280}{11} = 484 - v_т^2$$ $$480 = 484 - v_т^2$$ Перенесём $v_т^2$ влево, а 480 вправо: $$v_т^2 = 484 - 480$$ $$v_т^2 = 4$$ $$v_т = \sqrt{4}$$ Поскольку скорость не может быть отрицательной, $v_т = 2$. Скорость течения должна быть меньше скорости теплохода в неподвижной воде, то есть $v_т < 22$, что выполняется. **Ответ:** $2$ км/ч.