Найти объем правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 3, боковое ребро равно 6.

Для нахождения объема пирамиды нам понадобятся площадь основания и высота. Объем пирамиды находится по формуле: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$$ 1. Найдем площадь основания. Так как основание — правильный шестиугольник со стороной $a = 3$, то его площадь можно найти по формуле: $$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$ $$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (3)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{27\sqrt{3}}{2}$$ 2. Теперь найдем высоту пирамиды $h$. В правильной шестиугольной пирамиде расстояние от центра основания до любой вершины равно длине стороны основания. То есть, радиус описанной окружности $R = a = 3$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $L = 6$, высотой пирамиды $h$ и радиусом описанной окружности основания $R = 3$. По теореме Пифагора: $$L^2 = h^2 + R^2$$ $$6^2 = h^2 + 3^2$$ $$36 = h^2 + 9$$ $$h^2 = 36 - 9$$ $$h^2 = 27$$ $$h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ 3. Теперь найдем объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3}}{2} \cdot 3\sqrt{3}$$ $$V = \frac{27\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$$ $$V = \frac{27 \cdot 3 \cdot 3}{2} = \frac{243}{2} = 121.5$$ **Ответ:** $121.5$