Найдите наибольшее значение функции $y = 8 \sin x - \frac{48}{\pi}x + 43$ на отрезке $[-\frac{5\pi}{6}; 0]$.

Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно найти её производную, приравнять к нулю и проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 1. Найдём производную функции $y = 8 \sin x - \frac{48}{\pi}x + 43$: $$y' = (8 \sin x - \frac{48}{\pi}x + 43)' = 8 \cos x - \frac{48}{\pi}$$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$8 \cos x - \frac{48}{\pi} = 0$$ $$8 \cos x = \frac{48}{\pi}$$ $$\cos x = \frac{48}{8\pi}$$ $$\cos x = \frac{6}{\pi}$$ Теперь нам нужно сравнить значение $\frac{6}{\pi}$ с 1. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{6}{\pi} \approx \frac{6}{3.14} \approx 1.91$. Поскольку значение $\frac{6}{\pi} > 1$, а косинус не может быть больше 1, то уравнение $\cos x = \frac{6}{\pi}$ не имеет решений. Это значит, что производная функции никогда не равна нулю, и у функции нет критических точек на всей числовой прямой. 3. Раз нет критических точек, функция монотонна на заданном отрезке $[-\frac{5\pi}{6}; 0]$. Определим, возрастает она или убывает. Для этого посмотрим на знак производной. Мы знаем, что $\frac{6}{\pi} \approx 1.91$. Значение $\cos x$ на отрезке $[-\frac{5\pi}{6}; 0]$ изменяется от $\cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866$ до $\cos(0) = 1$. Значит, на этом отрезке $-0.866 \le \cos x \le 1$. Тогда $8 \cos x$ будет в диапазоне от $8 \cdot (-0.866) \approx -6.928$ до $8 \cdot 1 = 8$. Производная $y' = 8 \cos x - \frac{48}{\pi}$. Так как $\frac{48}{\pi} \approx 15.28$, то $y' = 8 \cos x - 15.28$. Максимальное значение $8 \cos x$ на отрезке равно 8. Значит, максимальное значение $y'$ будет $8 - 15.28 = -7.28$. Минимальное значение $8 \cos x$ на отрезке равно $8 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4\sqrt{3} \approx -6.928$. Значит, минимальное значение $y'$ будет $-4\sqrt{3} - \frac{48}{\pi} \approx -6.928 - 15.28 = -22.208$. Мы видим, что на всем отрезке $[-\frac{5\pi}{6}; 0]$ производная $y'$ всегда отрицательна (потому что $8 \cos x \le 8$, а $\frac{48}{\pi} \approx 15.28$, значит $8 \cos x - \frac{48}{\pi}$ всегда будет отрицательным). Это означает, что функция на этом отрезке убывает. 4. Если функция убывает, то наибольшее значение она принимает в начале отрезка, то есть при $x = -\frac{5\pi}{6}$. Подставим это значение в функцию: $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 8 \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{48}{\pi}\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 43$$ $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 8 \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{48 \cdot 5\pi}{6\pi} + 43$$ $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -4 + \frac{240}{6} + 43$$ $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -4 + 40 + 43$$ $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 36 + 43$$ $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 79$$ **Ответ:** 79