Доказать тождество $3\cos 2\alpha - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 2\cos 2\alpha$

1) Докажем тождество: $$3\cos 2\alpha - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 2\cos 2\alpha$$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Тогда: $$3\cos 2\alpha - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = 2\cos 2\alpha$$ $$3\cos 2\alpha - 1 = 2\cos 2\alpha$$ Перенесём $2\cos 2\alpha$ в левую часть: $$3\cos 2\alpha - 2\cos 2\alpha - 1 = 0$$ $$\cos 2\alpha - 1 = 0$$ $$\cos 2\alpha = 1$$ Это не является тождеством, так как $\cos 2\alpha$ не всегда равен 1. **Вывод: Тождество неверно.** 2) Докажем тождество: $$\frac{\sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha} = \sin \alpha$$ Используем формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$. В нашем случае $x = 5\alpha$ и $y = 3\alpha$. Тогда: $$\sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2\cos \left(\frac{5\alpha + 3\alpha}{2}\right)\sin \left(\frac{5\alpha - 3\alpha}{2}\right)$$ $$\sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2\cos \left(\frac{8\alpha}{2}\right)\sin \left(\frac{2\alpha}{2}\right)$$ $$\sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2\cos 4\alpha \sin \alpha$$ Подставим это выражение в левую часть исходного тождества: $$\frac{2\cos 4\alpha \sin \alpha}{2\cos 4\alpha}$$ Сократим $2\cos 4\alpha$: $$\sin \alpha$$ Левая часть тождества равна правой части тождества. **Вывод: Тождество верно.**