На рисунке 80 докажите, что $\angle C = \angle D$ и $AC = BD$

130. На рисунке 80 дано, что $$\angle DAC = \angle DBC$$ и $AO = BO$. Надо доказать, что $$\angle C = \angle D$$ и $AC = BD$. Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$. 1. $AO = BO$$ (дано по условию). 2. $$\angle AOC = \angle BOD$$ (как вертикальные углы). 3. $$\angle DAC = \angle DBC$$ (дано по условию, эти углы можно рассматривать как $$\angle CAO$$ и $$\angle DBO$$). Из пунктов 1, 2, 3 следует, что $$\triangle AOC = \triangle BOD$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$ следует, что соответствующие элементы равны: - $OC = OD$$ - $AC = BD$$ - $$\angle C = \angle D$$ Таким образом, $AC = BD$$ и $$\angle C = \angle D$$ доказаны. **Задача 131** На рисунке 80 дано: $$\angle DAB = \angle CBA$$, $$\angle CAB = \angle DBA$$, $AC = 13$$ см. Надо найти $BD$$ . Рассмотрим треугольники $$\triangle DAB$$ и $$\triangle CBA$$. 1. Сторона $AB$$ — общая. 2. $$\angle DAB = \angle CBA$$ (дано по условию). 3. $$\angle DBA = \angle CAB$$ (дано по условию). Из пунктов 1, 2, 3 следует, что $$\triangle DAB = \triangle CBA$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников $$\triangle DAB$$ и $$\triangle CBA$$ следует, что соответствующие стороны равны: - $AD = BC$$ - $BD = AC$$ Так как $AC = 13$$ см, то $BD = 13$$ см. **Ответ:** $BD = 13$$ см. **Задача 133** Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны. Пусть даны два равных треугольника $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$. Это означает, что $AB = A_1B_1$$, $BC = B_1C_1$$, $AC = A_1C_1$$, и соответствующие углы равны: $$\angle A = \angle A_1$$, $$\angle B = \angle B_1$$, $$\angle C = \angle C_1$$. Рассмотрим биссектрисы $BM$$ и $B_1M_1$$ , проведённые к соответственно равным сторонам $AC$$ и $A_1C_1$$ . Так как $BM$$ и $B_1M_1$$ — биссектрисы углов $B$$ и $B_1$$ соответственно, то $$\angle ABM = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle B$$ и $$\angle A_1B_1M_1 = \angle M_1B_1C_1 = \frac{1}{2} \angle B_1$$. Поскольку $$\angle B = \angle B_1$$ , то $$\angle ABM = \angle A_1B_1M_1$$. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle A_1B_1M_1$$. 1. $AB = A_1B_1$$ (из равенства исходных треугольников). 2. $$\angle A = \angle A_1$$ (из равенства исходных треугольников). 3. $$\angle ABM = \angle A_1B_1M_1$$ (доказано выше). Из пунктов 1, 2, 3 следует, что $$\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников $$\triangle ABM$$ и $$\triangle A_1B_1M_1$$ следует, что соответствующие стороны равны, в том числе и биссектрисы: $BM = B_1M_1$$. Что и требовалось доказать.