Упростить выражения

1. Используем формулу $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$: $$2\cos 40^\circ \cdot \cos 50^\circ = \cos(40^\circ - 50^\circ) + \cos(40^\circ + 50^\circ)$$ $$= \cos(-10^\circ) + \cos(90^\circ) = \cos(10^\circ) + 0 = \cos(10^\circ)$$ **Ответ: $\cos(10^\circ)$** 2. Используем формулу $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$: $$2\sin 25^\circ \cdot \sin 65^\circ = \cos(25^\circ - 65^\circ) - \cos(25^\circ + 65^\circ)$$ $$= \cos(-40^\circ) - \cos(90^\circ) = \cos(40^\circ) - 0 = \cos(40^\circ)$$ **Ответ: $\cos(40^\circ)$** 3. Раскроем скобки и используем формулу $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$: $$\sin 2\alpha + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin 2\alpha + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$$ $$= \sin 2\alpha + (1 - 2\sin \alpha \cos \alpha) = \sin 2\alpha + 1 - \sin 2\alpha = 1$$ **Ответ: $1$** 4. Используем формулу понижения степени для $\cos 4\alpha = 1 - 2\sin^2 2\alpha$: (также можно использовать $\cos 4\alpha = \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha$) $$\cos 4\alpha + \sin^2 2\alpha = (1 - 2\sin^2 2\alpha) + \sin^2 2\alpha = 1 - \sin^2 2\alpha$$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы знаем, что $1 - \sin^2 2\alpha = \cos^2 2\alpha$. **Ответ: $\cos^2 2\alpha$**