Докажите, что один из углов треугольника $ABC$ равен сумме двух других углов, если медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна отрезку $BM$.

Дано: медиана $AM$ треугольника $ABC$ равна отрезку $BM$. Доказать, что один из углов треугольника $ABC$ равен сумме двух других углов. ### Доказательство: 1. Так как $AM$ — медиана, то $M$ — середина стороны $BC$. Значит, $BM = MC$. 2. По условию $AM = BM$. Следовательно, $AM = BM = MC$. 3. Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $AM = BM$, треугольник $ABM$ — равнобедренный. Значит, углы при основании равны: $\angle BAM = \angle ABM = \angle B$. 4. Рассмотрим треугольник $AMC$. Так как $AM = MC$, треугольник $AMC$ — равнобедренный. Значит, углы при основании равны: $\angle CAM = \angle ACM = \angle C$. 5. Угол $AMB$ — внешний угол для треугольника $AMC$ (или $AMC$). Сумма углов в треугольнике $AMB$: $\angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180^{\circ}$. 6. Угол $AMB$ и угол $AMC$ являются смежными, поэтому $\angle AMB + \angle AMC = 180^{\circ}$. 7. В треугольнике $ABM$: $\angle AMB = 180^{\circ} - (\angle BAM + \angle ABM) = 180^{\circ} - 2\angle B$. 8. В треугольнике $AMC$: $\angle AMC = 180^{\circ} - (\angle CAM + \angle ACM) = 180^{\circ} - 2\angle C$. 9. Подставим выражения для $\angle AMB$ и $\angle AMC$ в равенство из пункта 6: $$(180^{\circ} - 2\angle B) + (180^{\circ} - 2\angle C) = 180^{\circ}$$ $$360^{\circ} - 2\angle B - 2\angle C = 180^{\circ}$$ $$180^{\circ} = 2\angle B + 2\angle C$$ $$90^{\circ} = \angle B + \angle C$$ 10. Мы знаем, что $\angle A = \angle BAM + \angle CAM = \angle B + \angle C$. 11. Тогда $\angle A = 90^{\circ}$. 12. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. 13. Так как $\angle A = \angle B + \angle C$, то $\angle A = 180^{\circ} - \angle A$, откуда $2\angle A = 180^{\circ}$, и $\angle A = 90^{\circ}$. 14. Таким образом, $\angle A = \angle B + \angle C = 90^{\circ}$, то есть один из углов треугольника $ABC$ (угол $A$) равен сумме двух других углов. **Что и требовалось доказать.**