Найдите корни уравнения: а) $\frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9}$

а) Для того чтобы найти корни уравнения, сначала перенесём все члены уравнения в одну сторону и приведём их к общему знаменателю. $$\frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-10} - \frac{1}{x-9}$$ Приведём дроби в левой и правой частях к общему знаменателю: $$\frac{(x-1) - (x-7)}{(x-7)(x-1)} = \frac{(x-9) - (x-10)}{(x-10)(x-9)}$$ Упростим числители: $$\frac{x-1-x+7}{(x-7)(x-1)} = \frac{x-9-x+10}{(x-10)(x-9)}$$ $$\frac{6}{(x-7)(x-1)} = \frac{1}{(x-10)(x-9)}$$ Перемножим крест-накрест: $$6(x-10)(x-9) = 1(x-7)(x-1)$$ Раскроем скобки: $$6(x^2 - 9x - 10x + 90) = x^2 - x - 7x + 7$$ $$6(x^2 - 19x + 90) = x^2 - 8x + 7$$ $$6x^2 - 114x + 540 = x^2 - 8x + 7$$ Перенесём все члены в левую часть: $$6x^2 - x^2 - 114x + 8x + 540 - 7 = 0$$ $$5x^2 - 106x + 533 = 0$$ Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-106)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 533$$ $$D = 11236 - 10660$$ $$D = 576$$ Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{106 - \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{106 - 24}{10} = \frac{82}{10} = 8.2$$ $$x_2 = \frac{106 + \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{106 + 24}{10} = \frac{130}{10} = 13$$ Проверим, при каких значениях $x$ знаменатели обращаются в ноль: $x-7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$ $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ $x-10 \neq 0 \Rightarrow x \neq 10$ $x-9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 9$ Оба корня, $8.2$ и $13$, удовлетворяют этим условиям. **Ответ: $x_1 = 8.2$, $x_2 = 13$** б) Найдём корни уравнения: $$\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+9} = \frac{1}{x+5} - \frac{1}{x+21}$$ Приведём дроби в левой и правой частях к общему знаменателю: $$\frac{(x+9) - (x+3)}{(x+3)(x+9)} = \frac{(x+21) - (x+5)}{(x+5)(x+21)}$$ Упростим числители: $$\frac{x+9-x-3}{(x+3)(x+9)} = \frac{x+21-x-5}{(x+5)(x+21)}$$ $$\frac{6}{(x+3)(x+9)} = \frac{16}{(x+5)(x+21)}$$ Сократим числа в числителях, разделив обе части на 2: $$\frac{3}{(x+3)(x+9)} = \frac{8}{(x+5)(x+21)}$$ Перемножим крест-накрест: $$3(x+5)(x+21) = 8(x+3)(x+9)$$ Раскроем скобки: $$3(x^2 + 21x + 5x + 105) = 8(x^2 + 9x + 3x + 27)$$ $$3(x^2 + 26x + 105) = 8(x^2 + 12x + 27)$$ $$3x^2 + 78x + 315 = 8x^2 + 96x + 216$$ Перенесём все члены в правую часть для удобства: $$0 = 8x^2 - 3x^2 + 96x - 78x + 216 - 315$$ $$0 = 5x^2 + 18x - 99$$ Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-99)$$ $$D = 324 + 1980$$ $$D = 2304$$ Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-18 - \sqrt{2304}}{2 \cdot 5} = \frac{-18 - 48}{10} = \frac{-66}{10} = -6.6$$ $$x_2 = \frac{-18 + \sqrt{2304}}{2 \cdot 5} = \frac{-18 + 48}{10} = \frac{30}{10} = 3$$ Проверим, при каких значениях $x$ знаменатели обращаются в ноль: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$ $x+9 \neq 0 \Rightarrow x \neq -9$ $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$ $x+21 \neq 0 \Rightarrow x \neq -21$ Оба корня, $-6.6$ и $3$, удовлетворяют этим условиям. **Ответ: $x_1 = -6.6$, $x_2 = 3$**