Решите квадратные уравнения.

а) $x(5x - 3) = 3(2x - 1\frac{1}{3})$ $$5x^2 - 3x = 6x - 3 \cdot \frac{4}{3}$$ $$5x^2 - 3x = 6x - 4$$ $$5x^2 - 3x - 6x + 4 = 0$$ $$5x^2 - 9x + 4 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{9 + 1}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$x_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 5} = \frac{9 - 1}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$$ **Ответ:** $x_1 = 1$, $x_2 = 0.8$ б) $(2x + 1)(x - 3) = x(4 - x) - 9$ $$2x^2 - 6x + x - 3 = 4x - x^2 - 9$$ $$2x^2 - 5x - 3 = 4x - x^2 - 9$$ $$2x^2 + x^2 - 5x - 4x - 3 + 9 = 0$$ $$3x^2 - 9x + 6 = 0$$ Разделим все на 3: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ **Ответ:** $x_1 = 2$, $x_2 = 1$ в) $(3x - 2)(3x + 2) = 4x(x - 1)$ Используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ $$(3x)^2 - 2^2 = 4x^2 - 4x$$ $$9x^2 - 4 = 4x^2 - 4x$$ $$9x^2 - 4x^2 + 4x - 4 = 0$$ $$5x^2 + 4x - 4 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 16 + 80 = 96$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{96}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 4\sqrt{6}}{10} = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{5}$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{96}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 4\sqrt{6}}{10} = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{5}$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{5}$, $x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{5}$ г) $(1 - 2x)(2x + 1) = -2x(3x + 1) + 2$ Используем формулу разности квадратов: $(1 - 2x)(1 + 2x) = 1^2 - (2x)^2$ $$1 - 4x^2 = -6x^2 - 2x + 2$$ $$-4x^2 + 6x^2 + 2x + 1 - 2 = 0$$ $$2x^2 + 2x - 1 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$ д) $(2m + 3)^2 = (m - 1)(m + 1)$ Используем формулы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ $$(2m)^2 + 2 \cdot 2m \cdot 3 + 3^2 = m^2 - 1^2$$ $$4m^2 + 12m + 9 = m^2 - 1$$ $$4m^2 - m^2 + 12m + 9 + 1 = 0$$ $$3m^2 + 12m + 10 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 - 120 = 24$$ $$m = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$m_1 = \frac{-12 + \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 + 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-6 + \sqrt{6}}{3}$$ $$m_2 = \frac{-12 - \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 - 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-6 - \sqrt{6}}{3}$$ **Ответ:** $m_1 = \frac{-6 + \sqrt{6}}{3}$, $m_2 = \frac{-6 - \sqrt{6}}{3}$ е) $5a(a + 1) = (3a - 2)^2$ Используем формулу: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $$5a^2 + 5a = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2$$ $$5a^2 + 5a = 9a^2 - 12a + 4$$ $$5a^2 - 9a^2 + 5a + 12a - 4 = 0$$ $$-4a^2 + 17a - 4 = 0$$ Умножим на -1: $$4a^2 - 17a + 4 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$$ $$a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$a_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$$ $$a_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = 0.25$$ **Ответ:** $a_1 = 4$, $a_2 = 0.25$ ж) $(2p + 3)^2 - (p - 1)^2 = -8$ Используем формулы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $$( (2p)^2 + 2 \cdot 2p \cdot 3 + 3^2 ) - ( p^2 - 2 \cdot p \cdot 1 + 1^2 ) = -8$$ $$( 4p^2 + 12p + 9 ) - ( p^2 - 2p + 1 ) = -8$$ $$4p^2 + 12p + 9 - p^2 + 2p - 1 = -8$$ $$3p^2 + 14p + 8 = -8$$ $$3p^2 + 14p + 8 + 8 = 0$$ $$3p^2 + 14p + 16 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$$ $$p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$p_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$ $$p_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -2\frac{2}{3}$$ **Ответ:** $p_1 = -2$, $p_2 = -2\frac{2}{3}$ з) $3(2x - 1)^2 = 7x^2 + 12$ Используем формулу: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $$3( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 ) = 7x^2 + 12$$ $$3( 4x^2 - 4x + 1 ) = 7x^2 + 12$$ $$12x^2 - 12x + 3 = 7x^2 + 12$$ $$12x^2 - 7x^2 - 12x + 3 - 12 = 0$$ $$5x^2 - 12x - 9 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9) = 144 + 180 = 324$$ $$\sqrt{324} = 18$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{12 + 18}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$$ $$x_2 = \frac{12 - 18}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$$ **Ответ:** $x_1 = 3$, $x_2 = -0.6$