Упростите выражение и найдите его значение при $a=9$, $b=11$: $\frac{\sqrt{16a^9 \cdot \sqrt{4b^3}}}{\sqrt{a^5b^3}}$

Давай упростим выражение и потом подставим значения. $$\frac{\sqrt{16a^9 \cdot \sqrt{4b^3}}}{\sqrt{a^5b^3}}$$ Сначала упростим числитель: $$\sqrt{16a^9 \cdot \sqrt{4b^3}} = \sqrt{16a^9} \cdot \sqrt{\sqrt{4b^3}} = 4\sqrt{a^9} \cdot \sqrt[4]{4b^3}$$ Теперь вернёмся к дроби: $$\frac{4\sqrt{a^9} \cdot \sqrt[4]{4b^3}}{\sqrt{a^5b^3}}$$ Перепишем корни в виде степеней: $$\frac{4a^{\frac{9}{2}} \cdot (4b^3)^{\frac{1}{4}}}{ (a^5b^3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{4a^{\frac{9}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{4}} b^{\frac{3}{4}}}{ a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{3}{2}}}$$ Объединим одинаковые основания: $$4 \cdot 4^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{9}{2} - \frac{5}{2}} \cdot b^{\frac{3}{4} - \frac{3}{2}}$$ Вычислим степени: $$4 \cdot 4^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{4}{2}} \cdot b^{\frac{3}{4} - \frac{6}{4}} = 4 \cdot 4^{\frac{1}{4}} \cdot a^2 \cdot b^{-\frac{3}{4}}$$ Теперь подставим $a=9$ и $b=11$: $$4 \cdot 4^{\frac{1}{4}} \cdot 9^2 \cdot 11^{-\frac{3}{4}} = 4 \cdot \sqrt[4]{4} \cdot 81 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{11^3}}$$ **Ответ:** $4 \cdot \sqrt[4]{4} \cdot 81 \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{11^3}}$