В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM. Найдите AH.

1. В треугольнике $ABC$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$. Известно, что $AC = 2$ и $BC = BM$. Найдите $AH$. Поскольку $BM$ — медиана, то $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Дано, что $BC = BM$. Значит, треугольник $BMC$ — равнобедренный с основанием $MC$. Высота $BH$ в треугольнике $ABC$ также является высотой в равнобедренном треугольнике $BMC$, опущенной на продолжение основания $MC$. В равнобедренном треугольнике $BMC$, если $BH$ — высота к стороне $MC$, то она также является медианой. Это значит, что $MH = HC$. Поскольку $M$ — середина $AC$, то $MC = 1$. И $MH = HC = \frac{MC}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$. Тогда $AH = AM + MH = 1 + 0.5 = 1.5$. **Ответ:** $AH = 1.5$ 2. Прямая $AD$, перпендикулярная медиане $BM$ треугольника $ABC$, делит её пополам. Найдите сторону $AB$, если сторона $AC$ равна 10. Пусть $K$ — точка пересечения прямой $AD$ и медианы $BM$. Поскольку $AD \perp BM$, то $AK$ является высотой в треугольнике $ABM$. Также известно, что $AK$ делит $BM$ пополам, то есть $BK = KM$. Это значит, что $AK$ является медианой в треугольнике $ABM$. Если в треугольнике высота является медианой, то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, треугольник $ABM$ равнобедренный, и $AB = AM$. $BM$ — медиана, значит $M$ — середина $AC$. $AM = MC = \frac{AC}{2}$. По условию $AC = 10$, значит $AM = \frac{10}{2} = 5$. Так как $AB = AM$, то $AB = 5$. **Ответ:** $AB = 5$