Реши уравнение $(x-2)(x+2) = 7x-14$

1. Реши уравнения: a) $(x-2)(x+2) = 7x-14$ $$x^2 - 4 = 7x - 14$$ $$x^2 - 7x + 10 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ **Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$** б) $(-x-1)(x-4) = x(4x-11)$ $$-(x+1)(x-4) = 4x^2 - 11x$$ $$-(x^2 - 4x + x - 4) = 4x^2 - 11x$$ $$-(x^2 - 3x - 4) = 4x^2 - 11x$$ $$-x^2 + 3x + 4 = 4x^2 - 11x$$ $$0 = 4x^2 + x^2 - 11x - 3x - 4$$ $$5x^2 - 14x - 4 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 196 + 80 = 276$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{14 - \sqrt{276}}{10} = \frac{14 - 2\sqrt{69}}{10} = \frac{7 - \sqrt{69}}{5}$$ $$x_2 = \frac{14 + \sqrt{276}}{10} = \frac{14 + 2\sqrt{69}}{10} = \frac{7 + \sqrt{69}}{5}$$ **Ответ: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{69}}{5}$, $x_2 = \frac{7 + \sqrt{69}}{5}$** в) $-x(\frac{1}{3}-x) = (x-1)(x+1)$ $$-\frac{1}{3}x + x^2 = x^2 - 1$$ $$-\frac{1}{3}x = -1$$ $$x = 3$$ **Ответ: $x = 3$** г) $5(x-2) = (3x+2)(x-2)$ $$5x - 10 = 3x^2 - 6x + 2x - 4$$ $$5x - 10 = 3x^2 - 4x - 4$$ $$0 = 3x^2 - 4x - 5x - 4 + 10$$ $$3x^2 - 9x + 6 = 0$$ Разделим все на 3: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$** 2. Реши уравнения: a) $\frac{x^2-x}{3} = \frac{2x-4}{5}$ Умножим обе части уравнения на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5): $$5(x^2-x) = 3(2x-4)$$ $$5x^2 - 5x = 6x - 12$$ $$5x^2 - 5x - 6x + 12 = 0$$ $$5x^2 - 11x + 12 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 121 - 240 = -119$$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. **Ответ: нет действительных корней** б) $\frac{x^2-3}{2} - 6x = 5$ Умножим обе части уравнения на 2: $$x^2 - 3 - 12x = 10$$ $$x^2 - 12x - 3 - 10 = 0$$ $$x^2 - 12x - 13 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{12 - \sqrt{196}}{2} = \frac{12 - 14}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{12 + \sqrt{196}}{2} = \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$$ **Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 13$** в) $\frac{x^2+2x}{2} = \frac{x^2+24}{7}$ Умножим обе части уравнения на 14 (наименьшее общее кратное 2 и 7): $$7(x^2+2x) = 2(x^2+24)$$ $$7x^2 + 14x = 2x^2 + 48$$ $$7x^2 - 2x^2 + 14x - 48 = 0$$ $$5x^2 + 14x - 48 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-48) = 196 + 960 = 1156$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-14 - \sqrt{1156}}{10} = \frac{-14 - 34}{10} = \frac{-48}{10} = -4.8$$ $$x_2 = \frac{-14 + \sqrt{1156}}{10} = \frac{-14 + 34}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ **Ответ: $x_1 = -4.8$, $x_2 = 2$** г) $\frac{3x^2+x}{4} - \frac{2-7x}{5} = \frac{3x^2+17}{10}$ Умножим обе части уравнения на 20 (наименьшее общее кратное 4, 5 и 10): $$5(3x^2+x) - 4(2-7x) = 2(3x^2+17)$$ $$15x^2 + 5x - 8 + 28x = 6x^2 + 34$$ $$15x^2 - 6x^2 + 5x + 28x - 8 - 34 = 0$$ $$9x^2 + 33x - 42 = 0$$ Разделим все на 3: $$3x^2 + 11x - 14 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-11 - \sqrt{289}}{6} = \frac{-11 - 17}{6} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}$$ $$x_2 = \frac{-11 + \sqrt{289}}{6} = \frac{-11 + 17}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ **Ответ: $x_1 = -\frac{14}{3}$, $x_2 = 1$**