В тетраэдре $DABC$ дано: $\angle ADB = 54^\circ$, $\angle BDC = 72^\circ$, $\angle CDA = 90^\circ$, $DA=20$ см, $BD=18$ см, $DC=21$ см. Найди рёбра основания.

Допущение: предполагается, что тетраэдр $DABC$ — это треугольная пирамида с вершиной $D$ и основанием $ABC$. а) Найдём рёбра основания $ABC$: В треугольнике $ADC$ известны стороны $DA=20$ см, $DC=21$ см и угол $\angle CDA = 90^\circ$. Это прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдём сторону $AC$: $$AC^2 = DA^2 + DC^2$$ $$AC^2 = 20^2 + 21^2$$ $$AC^2 = 400 + 441$$ $$AC^2 = 841$$ $$AC = \sqrt{841} = 29 \text{ см}$$ В треугольнике $ADB$ известны стороны $DA=20$ см, $DB=18$ см и угол $\angle ADB = 54^\circ$. По теореме косинусов найдём сторону $AB$: $$AB^2 = DA^2 + DB^2 - 2 \cdot DA \cdot DB \cdot \cos(\angle ADB)$$ $$AB^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(54^\circ)$$ $$AB^2 = 400 + 324 - 720 \cdot \cos(54^\circ)$$ $$AB^2 = 724 - 720 \cdot 0.5878$$ $$AB^2 = 724 - 423.216$$ $$AB^2 = 300.784$$ $$AB = \sqrt{300.784} \approx 17.34 \text{ см}$$ В треугольнике $BDC$ известны стороны $DB=18$ см, $DC=21$ см и угол $\angle BDC = 72^\circ$. По теореме косинусов найдём сторону $BC$: $$BC^2 = DB^2 + DC^2 - 2 \cdot DB \cdot DC \cdot \cos(\angle BDC)$$ $$BC^2 = 18^2 + 21^2 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot \cos(72^\circ)$$ $$BC^2 = 324 + 441 - 756 \cdot \cos(72^\circ)$$ $$BC^2 = 765 - 756 \cdot 0.3090$$ $$BC^2 = 765 - 233.724$$ $$BC^2 = 531.276$$ $$BC = \sqrt{531.276} \approx 23.05 \text{ см}$$ **Ответ:** а) Рёбра основания $ABC$: $AC = 29$ см, $AB \approx 17.34$ см, $BC \approx 23.05$ см.