Найди площадь полной поверхности пирамиды и объём пирамиды, если основание правильной пирамиды ABCDN — квадрат ABCD, длина стороны которого $a=10$ см, апофема $l=13$ см.

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$). Основание — квадрат со стороной $a=10$ см. $$S_{осн} = a^2$$ $$S_{осн} = 10^2 = 100\text{ см}^2$$ 2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$). Боковая поверхность правильной пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Площадь одного бокового треугольника $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{апофема}$. Основание треугольника равно стороне квадрата $a=10$ см, апофема $l=13$ см. $$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 13 = 5 \cdot 13 = 65\text{ см}^2$$ Тогда площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 65 = 260\text{ см}^2$$ 3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$). $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$$ $$S_{полн} = 100 + 260 = 360\text{ см}^2$$ 4. Найдем высоту пирамиды ($h$). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и половиной стороны основания. Катет $k = \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ см}$. По теореме Пифагора: $$l^2 = h^2 + k^2$$ $$13^2 = h^2 + 5^2$$ $$169 = h^2 + 25$$ $$h^2 = 169 - 25$$ $$h^2 = 144$$ $$h = \sqrt{144} = 12\text{ см}$$ 5. Найдем объем пирамиды ($V$). $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12$$ $$V = 100 \cdot 4 = 400\text{ см}^3$$ **Ответ:** Площадь полной поверхности пирамиды $360\text{ см}^2$, объем пирамиды $400\text{ см}^3$.