Найди рёбра основания и площади всех боковых граней тетраэдра DABC, если ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA=90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см.

Привет! Давай решим задачу про тетраэдр. а) Чтобы найти рёбра основания ABC, нужно воспользоваться теоремой косинусов для каждого из треугольников, образующих основание. Рассмотрим треугольник ADB: $$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)$$ $$AB^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(54^\circ)$$ $$AB^2 = 400 + 324 - 720 \cdot 0.5878$$ $$AB^2 = 724 - 423.216 = 300.784$$ $$AB = \sqrt{300.784} \approx 17.34 \text{ см}$$ Рассмотрим треугольник BDC: $$BC^2 = BD^2 + DC^2 - 2 \cdot BD \cdot DC \cdot \cos(\angle BDC)$$ $$BC^2 = 18^2 + 21^2 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot \cos(72^\circ)$$ $$BC^2 = 324 + 441 - 756 \cdot 0.3090$$ $$BC^2 = 765 - 233.604 = 531.396$$ $$BC = \sqrt{531.396} \approx 23.05 \text{ см}$$ Рассмотрим треугольник ADC: $$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\angle CDA)$$ $$AC^2 = 20^2 + 21^2 - 2 \cdot 20 \cdot 21 \cdot \cos(90^\circ)$$ $$AC^2 = 400 + 441 - 840 \cdot 0$$ $$AC^2 = 841$$ $$AC = \sqrt{841} = 29 \text{ см}$$ б) Теперь найдём площади боковых граней. Площадь грани ADB: $$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD \cdot \sin(\angle ADB)$$ $$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot \sin(54^\circ)$$ $$S_{ADB} = 180 \cdot 0.8090 \approx 145.62 \text{ см}^2$$ Площадь грани BDC: $$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC)$$ $$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 21 \cdot \sin(72^\circ)$$ $$S_{BDC} = 189 \cdot 0.9511 \approx 179.76 \text{ см}^2$$ Площадь грани ADC: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC \cdot \sin(\angle CDA)$$ $$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 \cdot \sin(90^\circ)$$ $$S_{ADC} = 210 \cdot 1 = 210 \text{ см}^2$$ **Ответ:** а) Рёбра основания: $AB \approx 17.34$ см, $BC \approx 23.05$ см, $AC = 29$ см. б) Площади боковых граней: $S_{ADB} \approx 145.62$ см², $S_{BDC} \approx 179.76$ см², $S_{ADC} = 210$ см².